试题

（2011·江宁区二模）如图，抛物线y=a(x-1)2-

4 3

3

经过△ABC的三个顶点，已知点A（-1，0），点C在y轴上，且BC∥x轴．
（1）求a的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）探究：
①若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAC周长的最小值；
②若点P是抛物线对称轴且在直线BC上方的一个动点，是否存在点P使△PAB是等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）将点A（-1，0）代入抛物线y=a(x-1)2-

4 3

3

，
得：0=a(-1-1)2-

4 3

3

，
解得a=

3

3

；

（2）△ABC是等腰三角形，
令x=0，则y=

3

3

(0-1)2-

4 3

3

=-

3

，
∴点C（0，-

3

），
∴在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=2，
由对称性可得点B（2，-

3

），
∴BC=2，
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形；

（3）①由于点B、C关于抛物线对称轴对称，
所以取直线AB与对称轴的交点为点P时，
△PAC周长的最小，△PAC周长=AC+AB=2+2

3

，
②当PA=AB时，点P坐标为(1，2

2

)，
当PB=AB时，点P坐标为(1，

11

-

3

)，
当PA=PB时，点P坐标为（1，0）．
解：（1）将点A（-1，0）代入抛物线y=a(x-1)2-

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3

，
得：0=a(-1-1)2-

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3

，
解得a=

3

3

；

（2）△ABC是等腰三角形，
令x=0，则y=

3

3

(0-1)2-

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3

=-

3

，
∴点C（0，-

3

），
∴在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=2，
由对称性可得点B（2，-

3

），
∴BC=2，
∴AC=BC，即△ABC是等腰三角形；

（3）①由于点B、C关于抛物线对称轴对称，
所以取直线AB与对称轴的交点为点P时，
△PAC周长的最小，△PAC周长=AC+AB=2+2

3

，
②当PA=AB时，点P坐标为(1，2

2

)，
当PB=AB时，点P坐标为(1，

11

-

3

)，
当PA=PB时，点P坐标为（1，0）．