试题

（2011·栖霞区二模）在直角坐标系中，点A、B坐标分别为：（1，4）、（3，-2），在x轴上找一点P，使x轴平分∠APB．
（1）用圆规和直尺画图，找出P点的位置，保留作图痕迹；
（2）求点P的坐标；
（3）过点P的二次函数图象的对称轴过点A，与x轴的另一交点为Q，与y轴的交点为C，当△PQC为直角三角形时，求这个二次函数的关系式．

解：（1）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长交x轴于点P

（2）设以直线AB′为图象的一次函数关系式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）
∵点A、B′坐标分别为：（1，4）、（3，2）将x、y的值分别代入以上函数关系式得，

4=k+b 2=3k+b.

，
解得，k=-1，b=5即函数解析式为：y=-x+5，
当y=0时，x=5，
∴P点坐标为（5，0）；

（3）由题意知，只有∠PCQ=90°，
∵△COQ∽△POC，
∴OC²=QO·PO，
则OC²=3×5=15，OC=±

15

，
设抛物线方程为：y=a（x+3）（x-5），
∴y=a（x²-2x-15），
当x=0时，y=OC=±

15

，
∴-15a=±

15

，
解得，a=±

15

15

，
∴y=

15

15

x²-

2 15

15

x-

15

或y=-

15

15

x²+

2 15

15

x+

15

．
解：（1）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长交x轴于点P

（2）设以直线AB′为图象的一次函数关系式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）
∵点A、B′坐标分别为：（1，4）、（3，2）将x、y的值分别代入以上函数关系式得，

4=k+b 2=3k+b.

，
解得，k=-1，b=5即函数解析式为：y=-x+5，
当y=0时，x=5，
∴P点坐标为（5，0）；

（3）由题意知，只有∠PCQ=90°，
∵△COQ∽△POC，
∴OC²=QO·PO，
则OC²=3×5=15，OC=±

15

，
设抛物线方程为：y=a（x+3）（x-5），
∴y=a（x²-2x-15），
当x=0时，y=OC=±

15

，
∴-15a=±

15

，
解得，a=±

15

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，
∴y=

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x²-

2 15

15

x-

15

或y=-

15

15

x²+

2 15

15

x+

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