试题

（2011·西城区模拟）如图，平面直角坐标系xOy中，点p_n（x_n，y_n）在双曲线y=

6

x

上（n，x_n，y_n都是正整数，且x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n）．抛物线y=ax²+bx+c经过（0，3），（-2，3），（1，0）三点．

x	…						…
y	…						…

（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式并在坐标系中画出它的图象；
（2）直接写出点p_n（x_n，y_n）的坐标，并写出p_n中任意两点所确定的不同直线的条数；
（3）从（2）中得到的所有直线中随机（任意）取出一条，利用图象求取出的直线与抛物线有公共点的概率；
（4）设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点分别为A，B（A在B左侧），将抛物线y=ax²+bx+c向上平移，平移后的抛物线与x轴的交点分别记为C，D（C在D左侧），求

S△P1CB

S△P1AD

值．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过（0，3），（-2，3），（1，0）三点，
∴

c=3 4a-2b+c=3 a+b+c=0

，解得：

a=-1 b=-2 c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3

x	…	-3	-2	-1	0	1	…
y=-x2-2x+3	…	0	3	4	3	0	…

图象为：

（2）P点的坐标为：P₁（1，6），P₂（2，3），P₃（3，2），P₄（6，1），
p_n中任意两点所确定的不同直线的条数共有：6条．

（3）由图得，p_n中任意两点所确定的不同直线有：P₁P₂，P₁P₃，P₁P₄，P₂P₃，P₂P₄，P₃P₄6条，其中与抛物线有公共点的直线只有一条，P₃P₄，
∴从（2）中得到的所有直线中随机（任意）取出一条，取出的直线与抛物线有公共点的概率为：

1

6

（4）∵点C、点D是抛物线向上平移后与x轴的交点，
∴抛物线的对称轴不变，设抛物线的对称轴与抛物线的交点是点E，
∴CE=DE，AE=BE，
∴EC-AE=DE-BE，
∴AC=BD，
∴AB+AC=AB+BD，
∴BC=AD，
∵△P₁CBD的高=△P₁AD的高=h，
∴S_△P1CB=

BC·h

2

，S_△P1AD=

AD·h

2

∴S_△P1CB=S_△P1AD
∴

S△P1CB

S△P1AD

=1
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过（0，3），（-2，3），（1，0）三点，
∴

c=3 4a-2b+c=3 a+b+c=0

，解得：

a=-1 b=-2 c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3

x	…	-3	-2	-1	0	1	…
y=-x2-2x+3	…	0	3	4	3	0	…

图象为：

（2）P点的坐标为：P₁（1，6），P₂（2，3），P₃（3，2），P₄（6，1），
p_n中任意两点所确定的不同直线的条数共有：6条．

（3）由图得，p_n中任意两点所确定的不同直线有：P₁P₂，P₁P₃，P₁P₄，P₂P₃，P₂P₄，P₃P₄6条，其中与抛物线有公共点的直线只有一条，P₃P₄，
∴从（2）中得到的所有直线中随机（任意）取出一条，取出的直线与抛物线有公共点的概率为：

1

6

（4）∵点C、点D是抛物线向上平移后与x轴的交点，
∴抛物线的对称轴不变，设抛物线的对称轴与抛物线的交点是点E，
∴CE=DE，AE=BE，
∴EC-AE=DE-BE，
∴AC=BD，
∴AB+AC=AB+BD，
∴BC=AD，
∵△P₁CBD的高=△P₁AD的高=h，
∴S_△P1CB=

BC·h

2

，S_△P1AD=

AD·h

2

∴S_△P1CB=S_△P1AD
∴

S△P1CB

S△P1AD

=1