试题

（2010·保定二模）已知二次函数y=ax²+4ax+4a-1的图象是C₁．
（1）求C₁关于点R（1，0）中心对称的图象C₂的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，设抛物线C₁、C₂与y轴的交点分别为A、B，当AB=18时，求a的值．

解：（1）由y=a（x+2）²-1，可知抛物线C₁的顶点为M（-2，-1）．
由图知点M（-2，-1）关于点R（1，0）中心对称的点为N（4，1），
以N（4，1）为顶点，与抛物线C₁关于点R（1，0）中心对称的图象C₂也是抛物线，
且C₁与C₂的开口大小相同且方向相反，
故抛物线C₂的函数解析式为y=-a（x-4）²+1，
即y=-ax²+8ax-16a+1．（3分）

（2）令x=0，
得抛物线C₁、C₂与y轴的交点A、B的纵坐标分别为4a-1和-16a+1．
∴AB=|（4a-1）-（-16a+1）|=|20a-2|．
∴|20a-2|=18．
当a≥

1

10

时，有20a-2=18，得a=1；
当a＜

1

10

时，有2-20a=18，得a=-

4

5

．（7分）
解：（1）由y=a（x+2）²-1，可知抛物线C₁的顶点为M（-2，-1）．
由图知点M（-2，-1）关于点R（1，0）中心对称的点为N（4，1），
以N（4，1）为顶点，与抛物线C₁关于点R（1，0）中心对称的图象C₂也是抛物线，
且C₁与C₂的开口大小相同且方向相反，
故抛物线C₂的函数解析式为y=-a（x-4）²+1，
即y=-ax²+8ax-16a+1．（3分）

（2）令x=0，
得抛物线C₁、C₂与y轴的交点A、B的纵坐标分别为4a-1和-16a+1．
∴AB=|（4a-1）-（-16a+1）|=|20a-2|．
∴|20a-2|=18．
当a≥

1

10

时，有20a-2=18，得a=1；
当a＜

1

10

时，有2-20a=18，得a=-

4

5

．（7分）