试题

（2010·红桥区一模）已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

解：（1）依题意，设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，
则

4=a+b+4 2=9a+3b+4

，（1分）
解得

a=- 1 3 b= 1 3

，
∴所求抛物线的解析式为y=-

1

3

x2+

1

3

x+4．（2分）
由-

1

3

x2+

1

3

x+4=0，
解得x₁=4，x₂=-3．
∴D（4，0）．（3分）

（2）如图，过点C作CN⊥x轴于N，过点E、B分别
作x轴、y轴的垂线，两线交于点M．
∴∠M=∠CNE=90度．
设E（a，0），EB=EC．
∴BM²+EM²=CN²+EN²．
∴（1-a）²+（4-0）²=（2-0）²+（3-a）²．
解得a=-1．
∴E（-1，0）．（4分）

（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5．
从而直线BC与x轴的交点为H（5，0）．
如图，根据轴对称性可知S_△E′FG=S_△EFG，
当点E′在BC上时，点F是BE的中点．
∵FG∥BC，
∴△EFP∽△EBH．
可证EP=PH．
∵E（-1，0），H（5，0），
∴P（2，0）．（5分）
（i）如图，分别过点B、C作BK⊥ED于K，
CJ⊥ED于J，
则S_△BCE=S_△BEH-S_△CEH=

1

2

EH·（BK-CJ）=6．
当-1＜x≤2时，
∵PF∥BC，
∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC．
∴

EG

EC

=

EP

EH

，

S△EFG

S△EBC

=

EG2

EC2

=

EP2

EH2

∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EP=x+1，EH=6．
∴S=S_△E′FG=S_△EFG=

(x+1)2

6

=

1

6

x²+

1

3

x+

1

6

（-1＜x≤2）．（6分）
（ii）如图，当2＜x≤4时，在x轴上截取一点Q，使得PQ=HP，过点Q作
QM∥FG，分别交EB、EC于M、N．
可证S=S_{四边形MNGF}，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC．
∴

EN

EC

=

EQ

EH

，

S△EFG

S△EBC

=

EN2

EC2

=

EQ2

EH2

∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EH=6，PQ=PH=5-x，EP=x+1，
EQ=6-2（5-x）=2x-4．
∴S_△EMN=

(2x-4)2

6

（7分）
同（i）可得S_△EFG=

(x+1)2

6

，
∴S=S_△EFG-S_△EMN=

(x+1)2

6

-

(2x-4)2

6

=-

1

2

x²+3x-

5

2

（2＜x≤4）．（8分）
综上，S=

1 6 x2+ 1 3 x+ 1 6 (-1＜x≤2) - 1 2 x2+3x- 5 2 (2＜x≤4)

．
解：（1）依题意，设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，
则

4=a+b+4 2=9a+3b+4

，（1分）
解得

a=- 1 3 b= 1 3

，
∴所求抛物线的解析式为y=-

1

3

x2+

1

3

x+4．（2分）
由-

1

3

x2+

1

3

x+4=0，
解得x₁=4，x₂=-3．
∴D（4，0）．（3分）

（2）如图，过点C作CN⊥x轴于N，过点E、B分别
作x轴、y轴的垂线，两线交于点M．
∴∠M=∠CNE=90度．
设E（a，0），EB=EC．
∴BM²+EM²=CN²+EN²．
∴（1-a）²+（4-0）²=（2-0）²+（3-a）²．
解得a=-1．
∴E（-1，0）．（4分）

（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5．
从而直线BC与x轴的交点为H（5，0）．
如图，根据轴对称性可知S_△E′FG=S_△EFG，
当点E′在BC上时，点F是BE的中点．
∵FG∥BC，
∴△EFP∽△EBH．
可证EP=PH．
∵E（-1，0），H（5，0），
∴P（2，0）．（5分）
（i）如图，分别过点B、C作BK⊥ED于K，
CJ⊥ED于J，
则S_△BCE=S_△BEH-S_△CEH=

1

2

EH·（BK-CJ）=6．
当-1＜x≤2时，
∵PF∥BC，
∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC．
∴

EG

EC

=

EP

EH

，

S△EFG

S△EBC

=

EG2

EC2

=

EP2

EH2

∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EP=x+1，EH=6．
∴S=S_△E′FG=S_△EFG=

(x+1)2

6

=

1

6

x²+

1

3

x+

1

6

（-1＜x≤2）．（6分）
（ii）如图，当2＜x≤4时，在x轴上截取一点Q，使得PQ=HP，过点Q作
QM∥FG，分别交EB、EC于M、N．
可证S=S_{四边形MNGF}，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC．
∴

EN

EC

=

EQ

EH

，

S△EFG

S△EBC

=

EN2

EC2

=

EQ2

EH2

∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EH=6，PQ=PH=5-x，EP=x+1，
EQ=6-2（5-x）=2x-4．
∴S_△EMN=

(2x-4)2

6

（7分）
同（i）可得S_△EFG=

(x+1)2

6

，
∴S=S_△EFG-S_△EMN=

(x+1)2

6

-

(2x-4)2

6

=-

1

2

x²+3x-

5

2

（2＜x≤4）．（8分）
综上，S=

1 6 x2+ 1 3 x+ 1 6 (-1＜x≤2) - 1 2 x2+3x- 5 2 (2＜x≤4)

．