试题

（2010·葫芦岛二模）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的顶点A（-1，3），∠ACO=90°，点O为坐标原点．将Rt△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△A′OC′．设直线AA′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）求直线AA′的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形PA′C′N成为直角梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵点A的坐标为（-1，3），
∴点A′的坐标为（3，1），
设直线AA′的解析式为y=kx+b（k≠0）
则

3=-k+b 1=3k+b

解得

k=- 1 2 b= 5 2

所以直线AA′的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）∵直线AA′的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

∴点M、N的坐标为（5，0）（0，

5

2

）
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
则

0=25a+5b+c 5 2 = c 0=a-b+c

解得

a=- 1 2 b=2 c= 5 2

所以抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+2x+

5

2

．

（3）当点P在P₁点处时四边形PA′C′N成为直角梯形
∵P₁点的纵坐标是

5

2

，
∴P₁点的横坐标是4，
∴P₁点的坐标是（4，

5

2

）
当点P在P₂点处时四边形PA′C′N成为直角梯形
∵P₂点的横坐标是3，
∴P₂点的纵坐标是4，
∴P₂点的坐标是（3，4）
∴P点的坐标为（4，

5

2

）或（3，4）．
解：（1）∵点A的坐标为（-1，3），
∴点A′的坐标为（3，1），
设直线AA′的解析式为y=kx+b（k≠0）
则

3=-k+b 1=3k+b

解得

k=- 1 2 b= 5 2

所以直线AA′的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）∵直线AA′的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

∴点M、N的坐标为（5，0）（0，

5

2

）
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
则

0=25a+5b+c 5 2 = c 0=a-b+c

解得

a=- 1 2 b=2 c= 5 2

所以抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+2x+

5

2

．

（3）当点P在P₁点处时四边形PA′C′N成为直角梯形
∵P₁点的纵坐标是

5

2

，
∴P₁点的横坐标是4，
∴P₁点的坐标是（4，

5

2

）
当点P在P₂点处时四边形PA′C′N成为直角梯形
∵P₂点的横坐标是3，
∴P₂点的纵坐标是4，
∴P₂点的坐标是（3，4）
∴P点的坐标为（4，

5

2

）或（3，4）．