试题

（2012·北塘区一模）已知抛物线的顶点坐标为(

5

2

，-

27

16

)，且经过点C（1，0），若此抛物线与x轴的另一交点为点B，与y轴的交点为点A，设P、Q分别为AB、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P、Q移动时间为t（0≤t≤4）
（1）求此抛物线的解析式并求出P点的坐标（用t表示）；
（2）当△OPQ面积最大时求△OBP的面积；
（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？
（4）△OPQ是否可能为等边三角形？若可能请求出t的值；若不可能请说明理由，并改变点Q的运动速度，使△OPQ为等边三角形，求出此时Q点运动的速度和此时t的值．

解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-

5

2

）²-

27

16

，代入点（1，0），得：a=

3

4

；
∴y=

3

4

（x-

5

2

）²-

27

16

．
令y=0得：x₁=4，x₂=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右图，过点P作PM⊥y轴，垂足为点M，则：

AM

AO

=

PM

OB

=

AP

AB

，得：

AM

3

=

PM

4

=

t

5

∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t
∴P（

4

5

t，3-

3

5

t）．

（2）如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，
S_△OPQ=

1

2

OQ·PN=

1

2

t·（3-

3

5

t）=

3

2

t-

3

10

t²=-

3

10

（t-

5

2

）²+

15

8

∴当t=

5

2

时，S_△OPQ最大=

15

8

．
此时OP为AB边上的中线
∴S_△OBP=

1

2

S_△AOB=

1

2

×

1

2

×3×4=3．

（3）若∠OQP=90°，则

BP

AB

=

BQ

BO

，
∴

5-t

5

=

4-t

4

，得t=0（舍去）．
若∠OPQ=90°，则OP²+PQ²=OQ²，
∴（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²+（3-

3

5

t）²+（

1

5

t）²=t²
解得：t₁=3，t₂=15（舍去）．
当t=3时，△OPQ为直角三角形．

（4）∵OP²=（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²，PQ²=（3-

3

5

t）²+（

1

5

t）²；
∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等边三角形．
设Q点的速度为每秒k个单位时，△OPQ为等边三角形
∴kt=2·

4

5

t，得 k=

8

5

∵PN=

3

2

OP=

3

2

·

8

5

t=

4 3

5

t
∴3-

3

5

t=

4 3

5

t，得t=

20 3 -15

13

．
解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-

5

2

）²-

27

16

，代入点（1，0），得：a=

3

4

；
∴y=

3

4

（x-

5

2

）²-

27

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．
令y=0得：x₁=4，x₂=1，∴B（4，0）．
令x=0得：y=3，∴A（0，3），AB=5．
如右图，过点P作PM⊥y轴，垂足为点M，则：

AM

AO

=

PM

OB

=

AP

AB

，得：

AM

3

=

PM

4

=

t

5

∴AM=

3

5

t，PM=

4

5

t
∴P（

4

5

t，3-

3

5

t）．

（2）如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，
S_△OPQ=

1

2

OQ·PN=

1

2

t·（3-

3

5

t）=

3

2

t-

3

10

t²=-

3

10

（t-

5

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）²+

15

8

∴当t=

5

2

时，S_△OPQ最大=

15

8

．
此时OP为AB边上的中线
∴S_△OBP=

1

2

S_△AOB=

1

2

×

1

2

×3×4=3．

（3）若∠OQP=90°，则

BP

AB

=

BQ

BO

，
∴

5-t

5

=

4-t

4

，得t=0（舍去）．
若∠OPQ=90°，则OP²+PQ²=OQ²，
∴（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²+（3-

3

5

t）²+（

1

5

t）²=t²
解得：t₁=3，t₂=15（舍去）．
当t=3时，△OPQ为直角三角形．

（4）∵OP²=（3-

3

5

t）²+（

4

5

t）²，PQ²=（3-

3

5

t）²+（

1

5

t）²；
∴OP≠PQ，
∴△OPQ不可能是等边三角形．
设Q点的速度为每秒k个单位时，△OPQ为等边三角形
∴kt=2·

4

5

t，得 k=

8

5

∵PN=

3

2

OP=

3

2

·

8

5

t=

4 3

5

t
∴3-

3

5

t=

4 3

5

t，得t=

20 3 -15

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