试题

（2012·合川区模拟）如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点B（-3，0），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求直线BC及二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+m，
∵点B（-3，0），点C（0，-3），
∴

-3k+m=0 m=-3

，
解得

k=-1 m=-3

，
所以，直线BC的解析式为y=-x-3，
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点B（-3，0），点C（0，-3），
∴

-9-3b+c=0 c=-3

，
解得

b=-4 c=-3

，
∴二次函数的解析式为y=-x²-4x-3；

（2）∵y=-x²-4x-3=-（x+2）²+1，
∴抛物线的顶点D（-2，1），对称轴为x=-2，
∵A、B关于对称轴对称，点B（-3，0），
∴点A的坐标为（-1，0），
AB=-1-（-3）=-1+3=2，
BC=

32+32

=3

2

，
连接AD，则AD=

12+[-1-(-2)]2

=

2

，
tan∠ADP=

1

(-1)-(-2)

=1，
∴∠ADP=45°，
又∵B（-3，0），C（0，-3），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ADP=∠ABC=45°，
又∵∠APD=∠ACB，
∴△ADP∽△ABC，
∴

DP

BC

=

AD

AB

，
即

DP

3 2

=

2

2

，
解得DP=3，
点P到x轴的距离为3-1=2，
点P的坐标为（-2，-2）；

（3）连接BD，∵B（-3，0），D（-2，1），
∴tan∠DBA=

1

-2-(-3)

=1，
∴∠DBA=45°，
根据勾股定理，BD=

12+[-2-(-3)]2

=

2

，
又∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=45°×2=90°，
∴tan∠BCD=

BD

BC

=

2

3 2

=

1

3

，
又∵tan∠OCA=

AO

CO

=

1

3

，
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCD=∠BCD+∠OCD=∠OCB，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
即∠OCA与∠OCD两角和是45°．
解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+m，
∵点B（-3，0），点C（0，-3），
∴

-3k+m=0 m=-3

，
解得

k=-1 m=-3

，
所以，直线BC的解析式为y=-x-3，
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点B（-3，0），点C（0，-3），
∴

-9-3b+c=0 c=-3

，
解得

b=-4 c=-3

，
∴二次函数的解析式为y=-x²-4x-3；

（2）∵y=-x²-4x-3=-（x+2）²+1，
∴抛物线的顶点D（-2，1），对称轴为x=-2，
∵A、B关于对称轴对称，点B（-3，0），
∴点A的坐标为（-1，0），
AB=-1-（-3）=-1+3=2，
BC=

32+32

=3

2

，
连接AD，则AD=

12+[-1-(-2)]2

=

2

，
tan∠ADP=

1

(-1)-(-2)

=1，
∴∠ADP=45°，
又∵B（-3，0），C（0，-3），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ADP=∠ABC=45°，
又∵∠APD=∠ACB，
∴△ADP∽△ABC，
∴

DP

BC

=

AD

AB

，
即

DP

3 2

=

2

2

，
解得DP=3，
点P到x轴的距离为3-1=2，
点P的坐标为（-2，-2）；

（3）连接BD，∵B（-3，0），D（-2，1），
∴tan∠DBA=

1

-2-(-3)

=1，
∴∠DBA=45°，
根据勾股定理，BD=

12+[-2-(-3)]2

=

2

，
又∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=45°×2=90°，
∴tan∠BCD=

BD

BC

=

2

3 2

=

1

3

，
又∵tan∠OCA=

AO

CO

=

1

3

，
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCD=∠BCD+∠OCD=∠OCB，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
即∠OCA与∠OCD两角和是45°．