试题

（2008·通州区一模）如图，已知与x轴交于点A（1，0）和B（5，0）的抛物线l₁的顶点为C（3，4），抛物线l₂与l₁关于x轴对称，顶点为C′．
（1）求抛物线l₂的函数关系式；
（2）已知原点O，定D（0，4），l₂上的点P与l₁上的P′始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点D、O、P、P′为顶点的四边形是平行四边形？
（3）设l₂上的点M、N分别与l₁上的点M′、N′始终关于x轴对称．是否存在点M、N（M在N的左侧），使四边形MNN′M′是正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意知点C′的坐标为（3，-4）．
设l₂的函数关系式为y=a（x-3）²-4．（1分）
又因为点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）²-4上，
a（1-3）²-4=0，解得a=1．
∴抛物线l₂的函数关系式为y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．（2分）

（2）∵P与P′始终关于x轴对称，
∴PP′与y轴平行．
设点P横坐标为m，则其纵坐标为m²-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
当m²-6m+5=2时，解得m=3±

6

．
当m²-6m+5=-2时，解得m=3±

2

．
∴当点P运动到（3-

6

，2）或（3+

6

，2）或到（3-

2

，-2）或（3+

2

，-2）时，PP′∥OD且PP′=OD，
以点为D、O、P、P′顶点的四边形是平行四边形．（6分）

（3）存在满足条件的点M、N．由抛物线的对称性可知，点M、N关于直线x=3对称．
设M（x₀，y₀），则正方形MNN′M′的边长为2|y₀|．
∵点M在l₂上，
∴y₀=（3-|y₀|-3）²-4，
解得y₀=

1± 17

2

．
∴x₀=3-|y₀|=

5- 17

2

或

7- 17

2

∴点M的坐标为（

5 - 17

2

，

1+ 17

2

）或（

7- 17

2

，

1- 17

2

）．
解：（1）由题意知点C′的坐标为（3，-4）．
设l₂的函数关系式为y=a（x-3）²-4．（1分）
又因为点A（1，0）在抛物线y=a（x-3）²-4上，
a（1-3）²-4=0，解得a=1．
∴抛物线l₂的函数关系式为y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．（2分）

（2）∵P与P′始终关于x轴对称，
∴PP′与y轴平行．
设点P横坐标为m，则其纵坐标为m²-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
当m²-6m+5=2时，解得m=3±

6

．
当m²-6m+5=-2时，解得m=3±

2

．
∴当点P运动到（3-

6

，2）或（3+

6

，2）或到（3-

2

，-2）或（3+

2

，-2）时，PP′∥OD且PP′=OD，
以点为D、O、P、P′顶点的四边形是平行四边形．（6分）

（3）存在满足条件的点M、N．由抛物线的对称性可知，点M、N关于直线x=3对称．
设M（x₀，y₀），则正方形MNN′M′的边长为2|y₀|．
∵点M在l₂上，
∴y₀=（3-|y₀|-3）²-4，
解得y₀=

1± 17

2

．
∴x₀=3-|y₀|=

5- 17

2

或

7- 17

2

∴点M的坐标为（

5 - 17

2

，

1+ 17

2

）或（

7- 17

2

，

1- 17

2

）．