试题

（2012·开平区一模）如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A、B两点，且A、B两点的坐标分别  为（3，0）、（-1，0），与y轴交于点C．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
（3）若有两个动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒

3

2

个单位长度的速度沿线段OA运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线O→C→A运 动，设运动时间为t秒．
①在运动过程中，是否存在DE∥OC？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 
②若△ODE的面积为S，求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的范围．

解：（1）由题意知：抛物线y=ax²+bx+4经过A（3，0）、B（-1，0）
则

0=9a+3b+4 0=a-b+4

，
解得：

a=- 4 3 b= 8 3

，
故所求的解析式为：y=-

4

3

x2+

8

3

x+4；

（2）∵y=-

4

3

x2+

8

3

x+4=-

4

3

(x-1)2+

16

3

，
∴顶点M的坐标为(1，

16

3

)，
如图1，过点M作MF⊥x轴于点F，
则S_{四边形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM=

1

2

×(3-1)×

16

3

+

1

2

×(4+

16

3

)×1=10，
即四边形AOCM的面积为10．

（3）①不存在DE∥OC；
理由：如图2，若DE∥OC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5，
设点E的坐标为（x₁，y₁）
则

|x1|

3

=

4t-4

5

，
∵|x₁|=

3

2

t，
∴t=

8

3

，
∵t=

8

3

＞2，不满足1＜t＜2，
∴不存在DE∥OC，
②根据题意得出D，E两点相遇的时间为

3+4+5

3 2 +4

=

24

11

（秒），
现分情况讨论：
当0＜t≤1时，S=

1

2

×

3

2

t·4t=3t2，
如图3，当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x₂，y₂），
则

|y2|

4

=

5-(4t-4)

5

，
故|y₂|=

36-16t

5

，
S=

1

2

×

3

2

t×

36-16t

5

=-

12

5

t2+

27

5

t，
③当2＜t＜

24

11

，
如图4，设点E的坐标为（x₃，y₃），类似②可得|y₃|=

36-16t

5

，
设点D的坐标为（x₄，y₄），
故

|y4|

4

=

3 2 t-3

5

，
则|y₄|=

6t-12

5

，
则S=S_△AOE-S_△AOD
=

1

2

×3×

36-16t

5

-

1

2

×3×

6t-12

5

=-

33

5

t+

72

5

．
解：（1）由题意知：抛物线y=ax²+bx+4经过A（3，0）、B（-1，0）
则

0=9a+3b+4 0=a-b+4

，
解得：

a=- 4 3 b= 8 3

，
故所求的解析式为：y=-

4

3

x2+

8

3

x+4；

（2）∵y=-

4

3

x2+

8

3

x+4=-

4

3

(x-1)2+

16

3

，
∴顶点M的坐标为(1，

16

3

)，
如图1，过点M作MF⊥x轴于点F，
则S_{四边形AOCM}=S_△AFM+S_梯形FOCM=

1

2

×(3-1)×

16

3

+

1

2

×(4+

16

3

)×1=10，
即四边形AOCM的面积为10．

（3）①不存在DE∥OC；
理由：如图2，若DE∥OC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5，
设点E的坐标为（x₁，y₁）
则

|x1|

3

=

4t-4

5

，
∵|x₁|=

3

2

t，
∴t=

8

3

，
∵t=

8

3

＞2，不满足1＜t＜2，
∴不存在DE∥OC，
②根据题意得出D，E两点相遇的时间为

3+4+5

3 2 +4

=

24

11

（秒），
现分情况讨论：
当0＜t≤1时，S=

1

2

×

3

2

t·4t=3t2，
如图3，当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x₂，y₂），
则

|y2|

4

=

5-(4t-4)

5

，
故|y₂|=

36-16t

5

，
S=

1

2

×

3

2

t×

36-16t

5

=-

12

5

t2+

27

5

t，
③当2＜t＜

24

11

，
如图4，设点E的坐标为（x₃，y₃），类似②可得|y₃|=

36-16t

5

，
设点D的坐标为（x₄，y₄），
故

|y4|

4

=

3 2 t-3

5

，
则|y₄|=

6t-12

5

，
则S=S_△AOE-S_△AOD
=

1

2

×3×

36-16t

5

-

1

2

×3×

6t-12

5

=-

33

5

t+

72

5

．