试题

（2012·老河口市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c交y轴于A（0，4），交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．B、C两点坐标分别为（3，0），（8，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，点Q是对称轴l上的一动点，是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，根据题意，得：

9a+3b+4=0 64a+8b+4=0

，
解得

a= 1 6 b=- 11 6

．
故抛物线的解析式为y=

1

6

x²-

11

6

x+4；

（2）设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC=∠AOB=90°．
∵A（0，4）、B（3，0）、C（8，0），
∴OA=4，OB=3，OC=8，BC=5；
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∴AB=BC．
∵AB⊥BD，
∴∠ABC=∠EBC+90°=∠OAB+90°，
∴∠EBC=∠OAB，
∴

∠OAB=∠EBC ∠AOB=∠BEC AB=BC

，
∴△OAB≌△EBC，
∴OB=EC=3．
设抛物线对称轴交x轴于F．
∵x=-

b

2a

=-

- 11 6

2× 1 6

=

11

2

，
∴F（

11

2

，0），
∴CF=8-

11

2

=

5

2

＜3，
∴对称轴l与⊙C相交；

（3）由（2）知：抛物线的对称轴为x=

11

2

，设Q（

11

2

，y_Q），已知BC=5，则有：
①若BC为边，则：P（

11

2

+5，y_P）或（

11

2

-5，y_P），代入抛物线的解析式中，可得：
P₁（

21

2

，

25

8

）、P₂（

1

2

，

25

8

）；
②若BC为对角线，则点P必在抛物线对称轴上，即此时点P是抛物线的顶点（

11

2

，-

25

24

）．
综上，存在符合条件的点P，坐标为（

1

2

，

25

8

）或（

21

2

，

25

8

）或（

11

2

，-

25

24

）．
解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，根据题意，得：

9a+3b+4=0 64a+8b+4=0

，
解得

a= 1 6 b=- 11 6

．
故抛物线的解析式为y=

1

6

x²-

11

6

x+4；

（2）设⊙C与BD相切于点E，连接CE，则∠BEC=∠AOB=90°．
∵A（0，4）、B（3，0）、C（8，0），
∴OA=4，OB=3，OC=8，BC=5；
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∴AB=BC．
∵AB⊥BD，
∴∠ABC=∠EBC+90°=∠OAB+90°，
∴∠EBC=∠OAB，
∴

∠OAB=∠EBC ∠AOB=∠BEC AB=BC

，
∴△OAB≌△EBC，
∴OB=EC=3．
设抛物线对称轴交x轴于F．
∵x=-

b

2a

=-

- 11 6

2× 1 6

=

11

2

，
∴F（

11

2

，0），
∴CF=8-

11

2

=

5

2

＜3，
∴对称轴l与⊙C相交；

（3）由（2）知：抛物线的对称轴为x=

11

2

，设Q（

11

2

，y_Q），已知BC=5，则有：
①若BC为边，则：P（

11

2

+5，y_P）或（

11

2

-5，y_P），代入抛物线的解析式中，可得：
P₁（

21

2

，

25

8

）、P₂（

1

2

，

25

8

）；
②若BC为对角线，则点P必在抛物线对称轴上，即此时点P是抛物线的顶点（

11

2

，-

25

24

）．
综上，存在符合条件的点P，坐标为（

1

2

，

25

8

）或（

21

2

，

25

8

）或（

11

2

，-

25

24

）．