试题

（2012·瑞安市模拟）如图，将腰长为

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°）放在平面直角坐标系中的第二象限，使点C的坐标为（-1，0），点A在y轴上，点B在抛物线y=ax²+ax-2上．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C′的位置．请判断点B′、C′是否在该抛物线上，并说明理由．

解：（1）如图1，做BE⊥x轴，
∵腰长为

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°），
∴AC=

5

，CO=1，∴AO=2，
∴A（0，2），
∵∠ACO=∠EBC，
AC=BC，∠AOC=∠BEC，
∴△ACO≌△CBE，
∴BE=1，EO=3，
∴B（-3，1）；

（2）将B点（-3，1）坐标代入y=ax²+ax-2即可得出二次函数解析式；
解析式为：y=

1

2

x2+

1

2

x-2；

（3）如图2，过点B'作B'M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C'作C'P⊥y轴于点P．在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
当x=1时y=

1

2

x2+

1

2

x-2=-1，
当x=2时y=

1

2

x2+

1

2

x-2=1，
可知点B′、C′在抛物线上．
解：（1）如图1，做BE⊥x轴，
∵腰长为

5

的等腰Rt△ABC（∠C=90°），
∴AC=

5

，CO=1，∴AO=2，
∴A（0，2），
∵∠ACO=∠EBC，
AC=BC，∠AOC=∠BEC，
∴△ACO≌△CBE，
∴BE=1，EO=3，
∴B（-3，1）；

（2）将B点（-3，1）坐标代入y=ax²+ax-2即可得出二次函数解析式；
解析式为：y=

1

2

x2+

1

2

x-2；

（3）如图2，过点B'作B'M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C'作C'P⊥y轴于点P．在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
当x=1时y=

1

2

x2+

1

2

x-2=-1，
当x=2时y=

1

2

x2+

1

2

x-2=1，
可知点B′、C′在抛物线上．