试题

题目：
青果学院已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．
（1）当m=4时，
①填空：B的坐标为
（4，-2）
（4，-2）
，C的坐标为
（4，-8）
（4，-8）
，D的坐标为
（0，-6）
（0，-6）
；
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；
③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．
（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
答案
（4，-2）

（4，-8）

（0，-6）

青果学院解：（1）①B（4，-2）C（4，-8）D（0，-6）
②设抛物线的解析式为y=a（x-4）2-2，已知抛物线过D点，
因此-6=a（x-4）2-2，
解得a=-
1
4
．
抛物线的函数关系式为：y=-
1
4
（x-4）2-2．
根据对称可知：E（8，-6）
③直线AD：y=2x-6，
把y=2x-6代入y=-
1
4
（x-4）2-2，
整理得：x2=0，得x1=x2=0
∴除D点外，直线AD与②中的抛物线无其它公共点．

（2）设A（m，h），则B的坐标为（m，-h），C的坐标为（m，h-10）．
青果学院假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分，
设DE与BC相交于点F，
∵OM=DE，OM∥DE，AC⊥OM，
∴CF=
1
2
AB，即BF=CF=
1
2
AB．
∴10-3h=h，
即h=
5
2

∴AB=5
∴B、P两点重合
∴m=
OP2-h2
=
52-(
5
2
)2
=
5
2
3
．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）①可连接OP，PM，设AC与OM交于N，那么在直角三角形OPN中，OP=5，ON=m=4．因此PN=3，AN=BN=2，CN=PC+PN=8，因此A，B，C的坐标分别为（4，2），（4，-2），（4，-8）．同理过P作OD的垂线，根据垂径定理即可得出OD=2PN=6，因此D点的坐标为（0，-6）．
②可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式，然后将D点的坐标代入即可求出抛物线的解析式．根据圆和抛物线的对称性可知：E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称，因此根据D的坐标即可求出E点的坐标．
③可用待定系数法求出直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式即可判断出直线AD与抛物线是否有另外的交点．
（2）如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直平分，如果设BC，DE的交点为F，那么BF=CF，可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标，进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．
本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、垂径定理、勾股定理、菱形的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．
压轴题；开放型．
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