如图，抛物线y=a{x^2}+frac{3}{2}x+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点我，已知B点坐标（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC...-青果题库-青果学院

题目：

（2013·宝安区一模）如图，抛物线y=ax2+

3

2

x+2(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点我，已知B点坐标（4，0）．
青果学院

（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心P位置，并求圆心P坐标；
（3）若D是抛物线上一动点，是否存在点D，使以P、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，请直接写出满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

解：（1）将点B（4，0）的坐标代入可得：16a+6+2=0，
解得：a=-

1

2

，
故抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）∵抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∴点C的坐标为（0，2），点A的坐标为（-1，0），
∴AC²=AO²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，AB²=（OA+OB）²=25，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的外接圆的圆心P位置在斜边AB的中点处，
∴点P的坐标为（

3

2

，0）．

（3）存在点D的坐标．
①若BC为梯形的底边，过点P作BC的平行线，交抛物线于点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、点C的坐标代入可得：

4k+b=0

b=2

，
解得：

k=-

1

2

b=2

，
故直线BC的解析式为y=-

1

2

x+2，
故可设直线PD的解析式为y=-

1

2

x+c，
将点P的坐标（

3

2

，0）代入可得：-

1

2

×

3

2

+c=0，
解得：c=

3

4

，
故直线PD的解析式为y=-

1

2

x+

3

4

，
联立抛物线与直线PD的解析式：

y=-

1

2

x+

3

4

y=-

1

2

x2+

3

2

x+2

，
解得：

x=

4+

26

2

y=

-1-

26

4

或

x=

4-

26

2

y=

-1+

26

4

，
即点D的坐标为（

4+

26

2

，

-1-

26

4

）或（

4-

26

2

，

-1+

26

4

）．
②若BC为梯形的对角线，过点C作CD∥BP，交抛物线于点D，
此时点D的纵坐标为2，将y=2代入抛物线解析式可得点D的坐标为（3，2）；
③当CP为底边，过B作CP的平行线，方法同第二种情况，
青果学院

∵P（

3

2

，0），C（0，2），
∴直线PC的解析式为y=-

4

3

x+2，
∵BD∥PC，B（4，0），
∴直线BD的解析式为y=-

4

3

x+

16

3

，
∴

y=-

4

3

x+

16

3

y=-

1

2

x2+

3

2

x+2

，解得

x=4

y=0

或

x=

3

2

y=

25

8

∴D（

3

2

，

25

8

）．
综上可得点D的坐标为：（

4+

26

2

，

-1-

26

4

）或（

4-

26

2

，

-1+

26

4

）或（3，2）或（

3

2

，

25

8

）．
解：（1）将点B（4，0）的坐标代入可得：16a+6+2=0，
解得：a=-

1

2

，
故抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

（2）∵抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
∴点C的坐标为（0，2），点A的坐标为（-1，0），
∴AC²=AO²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，AB²=（OA+OB）²=25，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的外接圆的圆心P位置在斜边AB的中点处，
∴点P的坐标为（

3

2

，0）．

（3）存在点D的坐标．
①若BC为梯形的底边，过点P作BC的平行线，交抛物线于点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、点C的坐标代入可得：

4k+b=0

b=2

，
解得：

k=-

1

2

b=2

，
故直线BC的解析式为y=-

1

2

x+2，
故可设直线PD的解析式为y=-

1

2

x+c，
将点P的坐标（

3

2

，0）代入可得：-

1

2

×

3

2

+c=0，
解得：c=

3

4

，
故直线PD的解析式为y=-

1

2

x+

3

4

，
联立抛物线与直线PD的解析式：

y=-

1

2

x+

3

4

y=-

1

2

x2+

3

2

x+2

，
解得：

x=

4+

26

2

y=

-1-

26

4

或

x=

4-

26

2

y=

-1+

26

4

，
即点D的坐标为（

4+

26

2

，

-1-

26

4

）或（

4-

26

2

，

-1+

26

4

）．
②若BC为梯形的对角线，过点C作CD∥BP，交抛物线于点D，
此时点D的纵坐标为2，将y=2代入抛物线解析式可得点D的坐标为（3，2）；
③当CP为底边，过B作CP的平行线，方法同第二种情况，
青果学院

∵P（

3

2

，0），C（0，2），
∴直线PC的解析式为y=-

4

3

x+2，
∵BD∥PC，B（4，0），
∴直线BD的解析式为y=-

4

3

x+

16

3

，
∴

y=-

4

3

x+

16

3

y=-

1

2

x2+

3

2

x+2

，解得

x=4

y=0

或

x=

3

2

y=

25

8

∴D（

3

2

，

25

8

）．
综上可得点D的坐标为：（

4+

26

2

，

-1-

26

4

）或（

4-

26

2

，

-1+

26

4

）或（3，2）或（

3

2

，

25

8

）．

考点梳理

二次函数综合题．

试题