试题

（2013·宝坻区一模）已知：关于x的方程x²+（m-4）x-3（m-1）=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）抛物线C：y=-x²-（m-4）x+3（m-1）与x轴交于A、B两点．若m≤-1且直线l₁：y=-

m

2

x-1经过点A，求抛物线C的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，直线l₁：y=-

m

2

x-1绕着点A旋转得到直线l₂：y=kx+b，设直线l₂与y轴交于点D，与抛物线C交于点M（M不与点A重合），当

MA

AD

≤

3

2

时，求k的取值范围．

解：（1）△=（m-4）²-4[-3（m-1）]=（m+2）²，
∵方程x²+（m-4）x-3（m-1）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴m≠-2；

（2）抛物线y=-x²-（m-4）x+3（m-1）中，令y=0，
则x²+（m-4）x-3（m-1）=0，
解得：x₁=3，x₂=1-m．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）和（1-m，0），
∵直线l₁：y=-

m

2

x-1经过点A，
当点A坐标为（3，0）时-

m

2

×3-1=0，
解得m=-

2

3

，
当点A坐标为（1-m，0）时，-

m

2

×（1-m）-1=0，
解得m=2或m=-1，
又∵m≤-1，
∴m=-1且A（2，0），
∴抛物线C的解析式为y=-x²+5x-6；

（3）设M（x_M，-x_M²+5x_M-6），
①当点M在A点的右侧时，可证

AM

AD

=

xM-OA

OA

，
若

AM

AD

=

3

2

，则

xM-2

2

=

3

2

，
此时x_M=5，M（5，-6），
过点A的直线l₂：y=kx+b的解析式为y=kx-2k，M（5，-6）时，5k-2k=-6，
求得k=-2；
②当点M与A点重合时直线l₂与抛物线C只有一个公共点，
解得

y=kx-2k y=-x2+5x-6

，
则x²+（k-5）x+6-2k=0，
令△=（k-5）²-4（6-2k）=0，求得k=1；
③当点M在A点的左侧时，
可证

AM

AD

=

OA-xM

OA

，
若

AM

AD

=

3

2

，则

2-xM

2

=

3

2

，此时x_M=-1，则M的坐标是：（-1，-12），
则-k-2k=-12，解得k=4．
综上所述，当

MA

AD

≤

3

2

时-2≤k≤4且k≠1．
解：（1）△=（m-4）²-4[-3（m-1）]=（m+2）²，
∵方程x²+（m-4）x-3（m-1）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴m≠-2；

（2）抛物线y=-x²-（m-4）x+3（m-1）中，令y=0，
则x²+（m-4）x-3（m-1）=0，
解得：x₁=3，x₂=1-m．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）和（1-m，0），
∵直线l₁：y=-

m

2

x-1经过点A，
当点A坐标为（3，0）时-

m

2

×3-1=0，
解得m=-

2

3

，
当点A坐标为（1-m，0）时，-

m

2

×（1-m）-1=0，
解得m=2或m=-1，
又∵m≤-1，
∴m=-1且A（2，0），
∴抛物线C的解析式为y=-x²+5x-6；

（3）设M（x_M，-x_M²+5x_M-6），
①当点M在A点的右侧时，可证

AM

AD

=

xM-OA

OA

，
若

AM

AD

=

3

2

，则

xM-2

2

=

3

2

，
此时x_M=5，M（5，-6），
过点A的直线l₂：y=kx+b的解析式为y=kx-2k，M（5，-6）时，5k-2k=-6，
求得k=-2；
②当点M与A点重合时直线l₂与抛物线C只有一个公共点，
解得

y=kx-2k y=-x2+5x-6

，
则x²+（k-5）x+6-2k=0，
令△=（k-5）²-4（6-2k）=0，求得k=1；
③当点M在A点的左侧时，
可证

AM

AD

=

OA-xM

OA

，
若

AM

AD

=

3

2

，则

2-xM

2

=

3

2

，此时x_M=-1，则M的坐标是：（-1，-12），
则-k-2k=-12，解得k=4．
综上所述，当

MA

AD

≤

3

2

时-2≤k≤4且k≠1．