试题

如图所示，某同学在探究二次函数图象时，作直线y=m平行于x轴，交二次函数y=x²的图象于A、B两点，作AC、BD分别垂直于x轴，发现四边形ABCD是正方形．
（1）求m的值及A、B两点的坐标；
（2）如图所示，将抛物线“y=x²”改为“y=x²-2x+2”，直线CD经过抛物线的顶点P与x轴平行，其它关系不变，求m的值及A、B两点的坐标．
（3）如图所示，将图中的改为“y=ax²+bx+c（a＞0），其它关系不变，请直接写出m的值及A、B两点的坐标（用含有a、b、c的代数式表示）
[提示：抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴为x=-

b

2a

]．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，由抛物线y=x²的对称性可知，OD=

1

2

AD
∴设点A坐标为（

1

2

m，m），
代入y=x²，
得m=(

1

2

m)2
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴m的值是4，点A的坐标为（2，4），
由抛物线的对称性，可得B点坐标为（-2，4）；

（2）如图，
∵y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴抛物线的顶点P坐标为（1，1），
由题意，点A的纵坐标为m，
∴AD=m-1，
设直线CD与y轴交点为Q，
则DQ=

m-1

2

+1=

1

2

m+

1

2

，
∴点A的坐标为（

1

2

m+

1

2

，m），
代入y=x²-2x+2中，
整理得m²-6m+5=0，
解得m₁=1（舍去），m₂=5，
∴m的值为5，点A的坐标为（3，5）
∴由抛物线的对称性，可求得点B的坐标为（-1，5）；

（3）m=

4ac-b2+16

4a

，
A（

-b+4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），
B（

-b-4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），
由抛物线y=ax²，求得m=

4

a

，
A、B两点坐标为A（

2

a

，

4

a

），B（-

2

a

，

4

a

），
把A、B两点先右移（- 

b

2a

）个单位，再上移（

4ac-b2

4a

）个单位，
整理得A（

-b+4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），B（

-b-4

2a

，

4ac-b2+16

4a

）．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，由抛物线y=x²的对称性可知，OD=

1

2

AD
∴设点A坐标为（

1

2

m，m），
代入y=x²，
得m=(

1

2

m)2
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴m的值是4，点A的坐标为（2，4），
由抛物线的对称性，可得B点坐标为（-2，4）；

（2）如图，
∵y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴抛物线的顶点P坐标为（1，1），
由题意，点A的纵坐标为m，
∴AD=m-1，
设直线CD与y轴交点为Q，
则DQ=

m-1

2

+1=

1

2

m+

1

2

，
∴点A的坐标为（

1

2

m+

1

2

，m），
代入y=x²-2x+2中，
整理得m²-6m+5=0，
解得m₁=1（舍去），m₂=5，
∴m的值为5，点A的坐标为（3，5）
∴由抛物线的对称性，可求得点B的坐标为（-1，5）；

（3）m=

4ac-b2+16

4a

，
A（

-b+4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），
B（

-b-4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），
由抛物线y=ax²，求得m=

4

a

，
A、B两点坐标为A（

2

a

，

4

a

），B（-

2

a

，

4

a

），
把A、B两点先右移（- 

b

2a

）个单位，再上移（

4ac-b2

4a

）个单位，
整理得A（

-b+4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），B（

-b-4

2a

，

4ac-b2+16

4a

）．