试题

题目：
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3）（3，0）（-2，-5），
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D（C点在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ABC是等腰三角形，求出点B的坐标．
答案
解：（1）将（0，3）（3，0）（-2，-5）三点坐标代入y=ax2+bx+c，得：
c=3
9a+3b+c=0
4a-2b+c=-5
，
解得：
a=-1
b=2
c=3
，
∴这个二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）由y=-x2+2x+3可知，C（-1，0），A（1，4），由于B点在对称轴上，则设B点坐标为（1，y）．
由于△ABC是等腰三角形，则分三种情况：
①AC边为腰，AC=AB，则B（1，4-2
5
）或（1，4+2
5
）；
②AC边为腰，AC=BC，则B（1，-4）；
③AC边为底，AB=BC，则B（1，
3
2
）．
解：（1）将（0，3）（3，0）（-2，-5）三点坐标代入y=ax2+bx+c，得：
c=3
9a+3b+c=0
4a-2b+c=-5
，
解得：
a=-1
b=2
c=3
，
∴这个二次函数的解析式为y=-x2+2x+3．

（2）由y=-x2+2x+3可知，C（-1，0），A（1，4），由于B点在对称轴上，则设B点坐标为（1，y）．
由于△ABC是等腰三角形，则分三种情况：
①AC边为腰，AC=AB，则B（1，4-2
5
）或（1，4+2
5
）；
②AC边为腰，AC=BC，则B（1，-4）；
③AC边为底，AB=BC，则B（1，
3
2
）．
考点梳理
二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定．
（1）将（0，3）（3，0）（-2，-5）三点坐标代入y=ax2+bx+c求解即可．
（2）由解析式求出A、C两点坐标，再设出对称轴上的B点坐标，由三点确定一个等腰三角形求出B点坐标．
本题考查了二次函数解析式的求法及数形结合的思想．
综合题．
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