试题

将抛物线c₁：y=-

3

x2+

3

沿x轴翻折，得到抛物线c₂，如图所示．
（1）请直接写出抛物线c₂的表达式；
（2）现将抛物线c₁向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c₂向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D，E．
①用含m的代数式表示点A和点E的坐标；
②在平移过程中，是否存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线c₂的表达式是y=

3

x²-

3

；
（2）①抛物线c₁向左平移m个单位长度，
得到解析式为y=-

3

（x+m）²+

3

，
令y=0，得到-

3

（x+m）²+

3

=0，
解得：x=1-m或x=-1-m，
∴点A的坐标是（-1-m，0），
抛物线c₂向右也平移m个单位长度，得到y=

3

（x-m）²-

3

，
令y=0，得到

3

（x-m）²-

3

=0，
解得：x=m+1或x=m-1，
∴点E的坐标是（1+m，0）；
②假设在平移过程中，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形，
由题意得只能是∠AME=90°，过点M作MG⊥x轴于点G，
由平移得：点M的坐标是（-m，

3

），
∴点G的坐标是（-m，0），
∴GA=1，MG=

3

，EG=2m+1，
在Rt△AGM中，∵tan∠MAG=

MG

AG

=

3

，
∴∠MAG=60°，
∵∠AME=90°，∴∠MEA=30°，
∴tan∠MEG=

MG

EG

=

3

3

，
∴

3

2m+1

=

3

3

，
∴m=1，
则在平移过程中，当m=1时，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形．
解：（1）抛物线c₂的表达式是y=

3

x²-

3

；
（2）①抛物线c₁向左平移m个单位长度，
得到解析式为y=-

3

（x+m）²+

3

，
令y=0，得到-

3

（x+m）²+

3

=0，
解得：x=1-m或x=-1-m，
∴点A的坐标是（-1-m，0），
抛物线c₂向右也平移m个单位长度，得到y=

3

（x-m）²-

3

，
令y=0，得到

3

（x-m）²-

3

=0，
解得：x=m+1或x=m-1，
∴点E的坐标是（1+m，0）；
②假设在平移过程中，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形，
由题意得只能是∠AME=90°，过点M作MG⊥x轴于点G，
由平移得：点M的坐标是（-m，

3

），
∴点G的坐标是（-m，0），
∴GA=1，MG=

3

，EG=2m+1，
在Rt△AGM中，∵tan∠MAG=

MG

AG

=

3

，
∴∠MAG=60°，
∵∠AME=90°，∴∠MEA=30°，
∴tan∠MEG=

MG

EG

=

3

3

，
∴

3

2m+1

=

3

3

，
∴m=1，
则在平移过程中，当m=1时，存在以点A，M，E为顶点的三角形是直角三角形．