试题

（2013·河南模拟）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，4）、B（2，4），它的最高点纵坐标为

14

3

，点P是第一象限抛物线上一点且PA=PO，过点P的直线分别交射线AB、x正半轴于C、D．设AC=m，OD=n．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标及n关于m的函数关系式；
（3）连接OC交AP于点E，如果以A、C、E为顶点的三角形与△ODP相似，求m的值．

解：（1）设函数解析式为y=a(x-1)2+

14

3

，
解出a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

(x-1)2+

14

3

；

（2）求出点P的坐标为（3，2），
由梯形中位线定理得，AC+OD=3×2=6，m+n=6，
∴n=6-m（0≤m≤6）；

（3）方法一：①当△ACE∽△ODP时（如图1），∠ACO=∠ODP，
∵AB∥x轴，∴∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠ODP，OC=CD，又CF⊥OD，∴AC=OF=

1

2

OD，
∴m=

1

2

（6-m）解得：m=2
②当△ACE∽△OPD时（如图2），∠ACO=∠OPD，∵∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠OPD，可得△OPD∽△COD，可得OD²=DP·DC，
即OD²=

1

2

CD²=（6-m）²=

1

2

（

42+(2m-6)2

）²，解得：m=

10

方法二：得出AE=

2 13 m

m+6

1当△ACE∽△ODP时，可求出m=2
②当△ACE∽△OPD时，可求出m=

10

．
解：（1）设函数解析式为y=a(x-1)2+

14

3

，
解出a=-

2

3

，
∴y=-

2

3

(x-1)2+

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3

；

（2）求出点P的坐标为（3，2），
由梯形中位线定理得，AC+OD=3×2=6，m+n=6，
∴n=6-m（0≤m≤6）；

（3）方法一：①当△ACE∽△ODP时（如图1），∠ACO=∠ODP，
∵AB∥x轴，∴∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠ODP，OC=CD，又CF⊥OD，∴AC=OF=

1

2

OD，
∴m=

1

2

（6-m）解得：m=2
②当△ACE∽△OPD时（如图2），∠ACO=∠OPD，∵∠ACO=∠COD
∴∠COD=∠OPD，可得△OPD∽△COD，可得OD²=DP·DC，
即OD²=

1

2

CD²=（6-m）²=

1

2

（

42+(2m-6)2

）²，解得：m=

10

方法二：得出AE=

2 13 m

m+6

1当△ACE∽△ODP时，可求出m=2
②当△ACE∽△OPD时，可求出m=

10

．