试题

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点c（0，3）．
（1）求此抛物线所对应函数的表达式；
（2）若抛物线的顶点为D，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PCD为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线与x轴交于点（-1，0）和（3，0），
设表达式为y=a（x+1）（x-3），
又点（0，3）在抛物线上，则3=a×1×（-3），
∴a=-l
故所求的表达式为：y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1，
①若以CD为底边，则PC=PD．设P点坐标为（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3-b）²=（a-1）²+（4-b）^2，
即b=4-a．      
又点P（a，b）在抛物线上，b=-a²+2a+3，
则 4-a=-a²+2a+3．整理，得a²-3a+1=0，
解，得a1=

3+ 5

2

＞1，a2=

3- 5

2

＜1（不合题意，舍去）
∴a=

3+ 5

2

，
则b=4-

3+ 5

2

=

5- 5

2

，
P（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）；
②若以CD为一腰，因点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3），
综上所述，符合条件的点P坐标为（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（2，3）．
解：（1）抛物线与x轴交于点（-1，0）和（3，0），
设表达式为y=a（x+1）（x-3），
又点（0，3）在抛物线上，则3=a×1×（-3），
∴a=-l
故所求的表达式为：y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3．

（2）存在．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1，
①若以CD为底边，则PC=PD．设P点坐标为（a，b），
由勾股定理，得：a²+（3-b）²=（a-1）²+（4-b）^2，
即b=4-a．      
又点P（a，b）在抛物线上，b=-a²+2a+3，
则 4-a=-a²+2a+3．整理，得a²-3a+1=0，
解，得a1=

3+ 5

2

＞1，a2=

3- 5

2

＜1（不合题意，舍去）
∴a=

3+ 5

2

，
则b=4-

3+ 5

2

=

5- 5

2

，
P（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）；
②若以CD为一腰，因点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，
此时点P坐标为（2，3），
综上所述，符合条件的点P坐标为（

3+ 5

2

，

5- 5

2

）或（2，3）．