试题

计算多项式ax³+bx²+cx+d的值时有以下3种算法，分别统计3种算法中的乘法次数．
①直接计算：ax³+bx²+cx+d时共有3+2+l=6（次）乘法；
②利用已有幂运算结果：x³=x²·x，计算ax³+bx²+cx+d时共有2+2+1=5（次）乘法；
③逐项迭代：ax³+bx²+cx+d=[（ax+b）x+c]x+d，其中等式右端运算中含有3次乘法．
请问：（1）分别使用以上3种算法，统计算式a₀x¹⁰+a₁x⁹+a₂x⁸+…+a₉x+a₁₀中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．
（2）对n次多项式a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n（其中a₀，a₁，a₂，…，a_n为系数，n＞1），分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．

解：（1）根据已知中3种运算方法直接算出即可：
3种运算法的次数分别为：
①10+9+8+…+2+1=55次；
②2×9+1=19次；
③10次．

（2）乘法次数分别是：
①n+（n-1）+…+3+2+1=

n(n+1)

2

（次）；
②2（n-1）+1=2n-1（次）；
③n次．
∴①直接计算法可以得出所有项的总次数；
②利用已有幂运算结果法只是最高幂的运算；
③逐项迭代法只能得出最高次数．
解：（1）根据已知中3种运算方法直接算出即可：
3种运算法的次数分别为：
①10+9+8+…+2+1=55次；
②2×9+1=19次；
③10次．

（2）乘法次数分别是：
①n+（n-1）+…+3+2+1=

n(n+1)

2

（次）；
②2（n-1）+1=2n-1（次）；
③n次．
∴①直接计算法可以得出所有项的总次数；
②利用已有幂运算结果法只是最高幂的运算；
③逐项迭代法只能得出最高次数．