试题

题目：
求出所有的正整数n，使得12+22+32+42+…+n2-（n+1）2-（n+2）2-（n+3）2-…-（2n-1）2-（2n）2=-10115
（参考公式：1+2+3+4+…+n=
n(n+1)
2
）
答案
解：原式可化为：12-（n+1）2+22-（n+2）2+…n2-（2n）2=-10115，
-n（n+2）-n（n+4）-n（n+6）-…-n（3n）=-10115，
-n（n+2+n+4+n+6+…+3n-2+3n）=-10115，
-n3-2n（1+2+3+…+n）=-10115，
-n3-2n（
n(n+1)
2
）=-10115，
2n3+n2=10115
∴n=17．
解：原式可化为：12-（n+1）2+22-（n+2）2+…n2-（2n）2=-10115，
-n（n+2）-n（n+4）-n（n+6）-…-n（3n）=-10115，
-n（n+2+n+4+n+6+…+3n-2+3n）=-10115，
-n3-2n（1+2+3+…+n）=-10115，
-n3-2n（
n(n+1)
2
）=-10115，
2n3+n2=10115
∴n=17．
考点梳理
整式的混合运算．
分别将12、（n+1）2；22、（n+2）2；…n2、（2n）2；结合起来，然后运用参考公式即可计算．
本题考查了整式的混合运算，难度较大，注意结合后运用平方差公式．
规律型．
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