试题

直角梯形纸片ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P，P落在直角梯形ABCD内部．
（1）若AE=5，要使PD值最小，确定点P的位置，同时说明PD值最小的理由．
（2）当AE为多少时，PD的值最小．

解：根据题意画出图形如图1所示：
（1）PD=

41

-5．
已知EP=5，
DE=

52+42

=

41

，
D在以E为圆心5为半径的圆外，
∴P为⊙E与DE的交点，
∴PD=

41

-5；


（2）连接ED，过P₁P⊥ED于P，
那么在Rt△P₁PD中，P₁D＞PD，
故当点A的对称点P落在线段ED上时，PD有最小值，（图2）
而E在线段AB上，
故当E与B重合时，即EP=BP，此时PD取最小值．（图3）
此时，AB=BP=8，
又∵BD=

AB2+BD2

=4

5

，
∴PD=BD-BP=4

5

-8．
AE=x，
DE=

42+x2

，
DP=

42+x2

-x，
解得x=8．
解：根据题意画出图形如图1所示：
（1）PD=

41

-5．
已知EP=5，
DE=

52+42

=

41

，
D在以E为圆心5为半径的圆外，
∴P为⊙E与DE的交点，
∴PD=

41

-5；


（2）连接ED，过P₁P⊥ED于P，
那么在Rt△P₁PD中，P₁D＞PD，
故当点A的对称点P落在线段ED上时，PD有最小值，（图2）
而E在线段AB上，
故当E与B重合时，即EP=BP，此时PD取最小值．（图3）
此时，AB=BP=8，
又∵BD=

AB2+BD2

=4

5

，
∴PD=BD-BP=4

5

-8．
AE=x，
DE=

42+x2

，
DP=

42+x2

-x，
解得x=8．