试题

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E，F分别为AB、BC的中点．
（1）求证：四边形AFCD是矩形；
（2）当AD=3时，试求DE的长．

（1）证明：∵F是BC的中点，
∴BC=2CF=2BF，
∵BC=2AD，
∴AD=CF=BF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵BC⊥CD，
即∠C=90°，
∴四边形AFCD是矩形；

（2）过点A作AH⊥DE于点H，
∵四边形AFCD是矩形，
∴∠AFB=90°，
∵E是AB的中点，
∴EF=BE=AE=

1

2

AB，
∵∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，∠BAD=120°，
∴BF=EF=AE，
∵BF=AD，
∴AE=AD=3，
∴∠ADE=∠AED=30°，EH=

1

2

DE，
在Rt△AEH中，EH=AE·cos30°=3×

3

2

=

3

2

3

，
∴DE=3

3

．
（1）证明：∵F是BC的中点，
∴BC=2CF=2BF，
∵BC=2AD，
∴AD=CF=BF，
∵AD∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵BC⊥CD，
即∠C=90°，
∴四边形AFCD是矩形；

（2）过点A作AH⊥DE于点H，
∵四边形AFCD是矩形，
∴∠AFB=90°，
∵E是AB的中点，
∴EF=BE=AE=

1

2

AB，
∵∠B=60°，
∴△BEF是等边三角形，∠BAD=120°，
∴BF=EF=AE，
∵BF=AD，
∴AE=AD=3，
∴∠ADE=∠AED=30°，EH=

1

2

DE，
在Rt△AEH中，EH=AE·cos30°=3×

3

2

=

3

2

3

，
∴DE=3

3

．