试题

如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在X轴正半轴上，∠COA=60°，OA=10cm，OC=4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求点C，B的坐标（结果用根号表示）
（2）从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；
（3）在点P，Q运动的过程中，四边形OCPQ有可能成为直角梯形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由；
（4）在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．

解：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，
∵∠COA=60°，
∴∠1=30°，
∴OE=

1

2

CO=2cm，
在Rt△COE中，CE=

CO2-EO2

=

16-4

=2

3

，
∴C点坐标是（2，2

3

），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴CO=AB，CO∥AB，
∵CE⊥OA，过B作BF⊥OA，
∴CE=BF=2

3

（平行线之间的距离相等），
∴Rt△COE≌Rt△BAF，
∴AF=EO=2，
∴OF=OA+AF=12（cm），
∴B点坐标是（12，2

3

）；

（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，
10-3x=x，
解得：x=2.5，
故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；

（3）四边形OCPQ能成为直角梯形．
设经过t秒钟，四边形OCPQ是直角梯形，
如图所示，四边形CEQP是矩形则有CP=EQ，
t=10-2-3t，
解得：t=2，
故经过2秒钟，四边形OCPQ是直角梯形；

（4）不能成为菱形，
如果四边形OCPQ菱形，则CO=QO=CP=4cm，
∵OA=10cm，
∴AQ=10-4=6（cm），
则Q的运动时间是：6÷3=2（秒），
这时CP=2×1=2（cm）
∵CP≠4cm，
∴四边形OCPQ不能成为菱形．
解：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，
∵∠COA=60°，
∴∠1=30°，
∴OE=

1

2

CO=2cm，
在Rt△COE中，CE=

CO2-EO2

=

16-4

=2

3

，
∴C点坐标是（2，2

3

），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴CO=AB，CO∥AB，
∵CE⊥OA，过B作BF⊥OA，
∴CE=BF=2

3

（平行线之间的距离相等），
∴Rt△COE≌Rt△BAF，
∴AF=EO=2，
∴OF=OA+AF=12（cm），
∴B点坐标是（12，2

3

）；

（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，
10-3x=x，
解得：x=2.5，
故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；

（3）四边形OCPQ能成为直角梯形．
设经过t秒钟，四边形OCPQ是直角梯形，
如图所示，四边形CEQP是矩形则有CP=EQ，
t=10-2-3t，
解得：t=2，
故经过2秒钟，四边形OCPQ是直角梯形；

（4）不能成为菱形，
如果四边形OCPQ菱形，则CO=QO=CP=4cm，
∵OA=10cm，
∴AQ=10-4=6（cm），
则Q的运动时间是：6÷3=2（秒），
这时CP=2×1=2（cm）
∵CP≠4cm，
∴四边形OCPQ不能成为菱形．