试题

题目：
（2008·义乌市）如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、A青果学院D上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．
（1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD=
2
2
；
（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于
4
5
-8
4
5
-8
．
答案
2

4
5
-8

青果学院解：（1）过P作PG⊥AB于G，则四边形DAGP是矩形，PG=DA=4，
∵PE=AE=5，
∴GE=
PE2-PG2
=
52-42
=3，
∴PD=AG=AE-GE=5-3=2；

（2）连接ED，作P1P⊥ED于P，
那么在Rt△P1PD中，P1D＞PD，
故当点A的对称点P落在线段ED上时，PD有最小值，（左图）
而E在线段AB上，
故当E与B重合时，即EP=BP，此时PD取最小值．（右图）
此时，AB=BP=8，又BD=
AB2+AD2
=4
5
，
∴PD=BD-BP=4
5
-8．
青果学院
考点梳理
直角梯形．
（1）作CS⊥AB于点S，EG⊥DC，交于DC延长线于点G，利用矩形的性质有AD=CS=GE=4，CD=AS=4，结合Rt△PGE，由折叠的性质知PE=AE=5，由勾股定理得出相关的线段的长度，即可求得DP的长；
（2）当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，只有当直径EF最大时，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合，由勾股定理得BD的长，从而求得PD=4
5
-8．
本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求解．
压轴题．
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