试题

题目：
青果学院（2011·鄂尔多斯）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点，则PC+PD的最小值为
7
5
7
5
．
答案
7
5

青果学院解：延长CB到E，使EB=CB=8，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BE，
∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，
∴△ADP∽△BEP，
∴AP：BP=AD：BE=6：8=3：4，
∴PB=
4
3
AP，
∵AP+BP=AB=7，
∴AP=3，BP=4，
∴PD=
AD2 +AP2
=
45
=3
5
，PE=
BP 2+BE2
=4
5
，
∴DE=PD+PE=7
5
，
∴PC+PD的最小值是7
5
，
故答案为：7
5
．
考点梳理
轴对称-最短路线问题；直角梯形．
要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．
此题考查了轴对称的性质、勾股定理的运用及相似三角形的判定和性质，解题时要注意找到对称点，并根据“两点之间线段最短”确定P点的位置．
压轴题．
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