试题

（2011·沙坪坝区模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=1，AB=2．将三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，连接AE，交BD于点F．给出下列5个结论：
①△BCD是等腰三角形；②S梯形ABCD=

7

2

；③cos∠C=

4

5

；④S_△EFB=2S_△ADE；⑤AE=

2

5

5

．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

B
解：∵三角形ABD沿BD翻折，点A恰好落在CD边上的点E处，
∴∠ADB=∠EDB，∠BED=∠BAC=90°，DE=DA=1，AF=EF，BE=BA=2，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠CBD=∠BDC，
∴△BCD是等腰三角形，所以①正确；
设CE=x，则CB=x+1，
在Rt△BCE中，BC²=BE²+CE²，即（x+1）²=2²+x²，解得x=

3

2

，
∴BC=1+x=

5

2

，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（1+

5

2

）×2=

7

2

，所以②正确；
在Rt△BCE中，cos∠C=

EC

BC

=

3 2

5 2

=

3

5

，所以③错误；
∵AF⊥BD，
∴Rt△ABF∽Rt△DAF，
∴S_△ABF：S_△DAF=AB²：AD²=4：1，
而S_△ABF=S_△BEF，S_△DAF=S_△DEF，
∴S_△EFB=2S_△ADE，所以④正确；
∵S_{四边形ABED}=

1

2

BD·AE=2S_△ABD，
而BD=

AD2+AB2

=

5

，
∴

1

2

×

5

·AE=2×

1

2

×2×1，
∴AE=

4 5

5

，所以⑤错误．
故选B．