试题

探索：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
…
（1）试求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值．
（2）判断2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁶+…+2²+2+1的值的个位数是几？

解：（1）2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1，
=1×（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=2⁷-1；

（2）由（1）可得，2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁶+…+2²+2+1=2²⁰⁰⁹-1，
分析可得：2的1次方个位是2，2的2次方个位是4，2的3次方个位是8，2的4次方个位是6，
2的5次方个位是2，2的6次方个位是4，2的7次方个位是8，2的8次方个位是6，
…，四个一组，依次循环，故可得2²⁰⁰⁹的个位数字是2，
则2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁶+…+2²+2+1即2²⁰⁰⁹-1的值的个位数是1．
解：（1）2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1，
=1×（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=2⁷-1；

（2）由（1）可得，2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁶+…+2²+2+1=2²⁰⁰⁹-1，
分析可得：2的1次方个位是2，2的2次方个位是4，2的3次方个位是8，2的4次方个位是6，
2的5次方个位是2，2的6次方个位是4，2的7次方个位是8，2的8次方个位是6，
…，四个一组，依次循环，故可得2²⁰⁰⁹的个位数字是2，
则2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁶+…+2²+2+1即2²⁰⁰⁹-1的值的个位数是1．