试题

题目：
青果学院如图，已知OA=10，P是射线ON上的一动点（即P点在射线ON上运动），且∠AON=60°．
（1）当OP=
10
10
时，△AOP为等边三角形，此时∠APO的度数为
60°
60°
；
（2）当△AOP为直角三角形时，OP=
5或20
5或20
，此时∠APO的度数为
90°或30°
90°或30°
．
答案
10

60°

5或20

90°或30°

解：（1）∵∠AON=60°，
∴当OP=OA=10时，△AOP为等边三角形；
故答案为：10，60°；

（2）若AP⊥ON，
∵∠AON=60°，
∴OP=OA·cos60°=
1
2
×10=5，∠APO的度数为90°；
若PA⊥OA，则OP=
OA
cos60°
=20，
∴当OP=5或20时，△AOP为直角三角形，∠APO的度数为30°．
故答案为：5或20，90°或30°．
考点梳理
等边三角形的判定；含30度角的直角三角形．
（1）由∠AON=60°，可得当OP=OA=10时，△AOP为等边三角形；
（2）分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得OP的长．
此题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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