试题

题目:
如图1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点,连接BD,以BD为边作等边△BDE,EA的延长线交BC的延长线于F,设CD=n,
(1)当n=1时,则AF=
2
2

(2)当0<n<1时,如图2,在BA上截取BH=AD,连接EH,求证:△AEH为等边三角形.
青果学院
答案
2

(1)解:∵△BDE是等边三角形,
∴∠EDB=60°,
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴∠BAC=180°-90°-30°=60°,
∴FAC=180°-60°-60°=60°,
∴∠F=180°-90°-60°=30°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACF=180°-90°,
∴AF=2AC=2×1=2;

(2)证明:∵△BDE是等边三角形,
∴BE=BD,∠EDB=∠EBD=60°,
在△BCD中,∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C,
即∠ADE+60°=∠CBD+90°,
∴∠ADE=30°+∠CBD,
∵∠HBE+∠ABD=60°,∠CBD+∠ABD=30°,
∴∠HBE=30°+∠CBD,
∴∠ADE=∠HBE,
在△ADE与△HBE中,
BH=AD
∠ADE=∠HBE
BE=BD

∴△ADE≌△HBE(SAS),
∴AE=HE,∠AED=∠HEB,
∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB,
即∠AEH=∠BED=60°,
∴△AEH为等边三角形.
考点梳理
含30度角的直角三角形;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°,再根据平角等于180°求出∠FAC=60°,然后求出∠F=30°,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可;
(2)根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30°+∠CBD,又∠HBE=30°+∠CBD,从而得到∠ADE=∠HBE,然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=HE,对应角相等可得∠AED=∠HEB,然后推出∠AEH=∠BED=60°,再根据等边三角形的判定即可证明.
本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质与判定,以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,(2)中求出
∠ADE=∠HBE是解题的关键.
动点型.
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