试题

如图所示，∠BAC=30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．
（1）求证：△AFD为等腰三角形；
（2）若DF=10cm，求DE的长．

（1）证明：如图所示，
∵DF∥AC，
∴∠3=∠2，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴FD=FA，
∴△AFD为等腰三角形．

（2）解：过D作DG⊥AB，垂足为G，
∵∠1=∠2=

1

2

∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠1=15°，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠3=15°，
∴∠GFD=∠1+∠3=15°+15°=30°，
在Rt△FDG中，DF=10cm，∠GFD=30°，
∴DG=5cm，
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG=5cm．
（1）证明：如图所示，
∵DF∥AC，
∴∠3=∠2，
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴FD=FA，
∴△AFD为等腰三角形．

（2）解：过D作DG⊥AB，垂足为G，
∵∠1=∠2=

1

2

∠BAC，∠BAC=30°，
∴∠1=15°，
又∵∠1=∠3，
∴∠1=∠3=15°，
∴∠GFD=∠1+∠3=15°+15°=30°，
在Rt△FDG中，DF=10cm，∠GFD=30°，
∴DG=5cm，
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG=5cm．