试题

题目：
青果学院如图所示，线段AB与直线a所夹锐角为30°，AB=2
3
，在直线a上有一动点C，当△ABC为等腰三角形时，则线段AC的长为
2
3
或2或6
2
3
或2或6
．
答案
2
3
或2或6

青果学院解：当AB=AC1=AC3=2
3
时，△ABC为等腰三角形；
当AB=BC2时，△ABC为等腰三角形，
过B作BD⊥a，可得∠BAD=∠BC2D=30°，且AD=C2D，
∴BD=
1
2
AB=
3
，
根据勾股定理得：AD=
AB2-BD2
=3，
此时AC2=2AD=6；
当AC4=BC4时，△ABC为等腰三角形，
过C4作C4E⊥AB，
故∠BAC4=∠ABC4=30°，AE=BE=
3
，
设C4E=x，则有AC4=2x，根据勾股定理得：x2+（
3
）2=（2x）2，
解得：x=1，
此时AC4=2x=2，
综上△ABC为等腰三角形时，AC的值为2
3
或2或6．
故答案为：2
3
或2或6．
考点梳理
等腰三角形的判定．
由△ABC为等腰三角形时，分情况考虑：当AB=AC1=AC3=2
3
时，△ABC为等腰三角形；当AB=BC2时，△ABC为等腰三角形，过B作BD垂直于直线a，由30°所对的直角边等于斜边的一半求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，再由三线合一得到D为中点，即可求出AC2的长；当AC4=BC4时，△ABC为等腰三角形，过C4作C4E⊥AB，由30°所对的直角边等于斜边的一半得到AC4=2EC4，且E为AB的中点，求出AE的长，设C4E=x，则有AC4=2x，根据勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC4的长，综上，得到所有满足题意AC的长．
此题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含30°直角三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．
计算题．
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