试题

如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3）²=0，c=2b-a；
（1）求a，b，c的值；
（2）如果再第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积，若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；
（3）若B，A两点分别在x轴，y轴的正半轴上运动，设∠BAO的邻补角的平分线和∠ABO的邻补角的平分线相交于第一象限内一点Q，那么，点A，B在运动的过程中，∠Q的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．

解：（1）∵|a-2|+（b-3）²=0，
∴a-2=0，b-3=0，
即a=2，b=3，
又∵c=2b-a，
∴c=2×3-2=4；

（2）由题意：S_△ABC=

1

2

BC×b=

1

2

×4×3=6，
S_{四边形ABOP}=

1

2

×AO×|m|+

1

2

×AO×|c|=

1

2

×2×|m|+

1

2

×2×3=|m|+3，
由题意S_{四边形ABOP}=S_△ABC，
∴|m|+3=6，
即m=±3，
∵点P在第二象限，
∴点P（-3，1）；

（3）∠AQB为定值．
证明：∵2∠BAQ=∠AOB+∠ABO，2∠ABQ=∠AOB+∠OAB，
∴2（∠BAQ+∠ABQ）=2∠AOB+∠ABO+∠OAB，
∠BAQ+∠ABQ=∠AOB+

180°-∠AOB

2

=90°+

1

2

∠AOB，
∵∠AOB大小为定值，
∴∠BAQ+∠ABQ的大小为定值，
∴∠AQB=180°-（∠BAQ+∠ABQ），
故∠AQB为定值．
解：（1）∵|a-2|+（b-3）²=0，
∴a-2=0，b-3=0，
即a=2，b=3，
又∵c=2b-a，
∴c=2×3-2=4；

（2）由题意：S_△ABC=

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BC×b=

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2

×4×3=6，
S_{四边形ABOP}=

1

2

×AO×|m|+

1

2

×AO×|c|=

1

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×2×|m|+

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×2×3=|m|+3，
由题意S_{四边形ABOP}=S_△ABC，
∴|m|+3=6，
即m=±3，
∵点P在第二象限，
∴点P（-3，1）；

（3）∠AQB为定值．
证明：∵2∠BAQ=∠AOB+∠ABO，2∠ABQ=∠AOB+∠OAB，
∴2（∠BAQ+∠ABQ）=2∠AOB+∠ABO+∠OAB，
∠BAQ+∠ABQ=∠AOB+

180°-∠AOB

2

=90°+

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∠AOB，
∵∠AOB大小为定值，
∴∠BAQ+∠ABQ的大小为定值，
∴∠AQB=180°-（∠BAQ+∠ABQ），
故∠AQB为定值．