试题

题目:
(2006·临沂)已知△ABC,(1)如图1,若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,则∠P=90°+
1
2
∠A;
(2)如图2,若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点,则∠P=90°-∠A;
(3)如图3,若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,则∠P=90°-
1
2
∠A.
上述说法正确的个数是(  )
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答案
C
解:(1)若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点,
则∠PBC=
1
2
∠ABC,∠PCB=
1
2
∠ACB
则∠PBC+∠PCB=
1
2
(∠ABC+∠ACB)=
1
2
(180°-∠A)
在△BCP中利用内角和定理得到:
∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180-
1
2
(180°-∠A)=90°+
1
2
∠A,
故成立;
(2)当△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°时,结论不成立;
(3)若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点,
则∠PBC=
1
2
∠FBC=
1
2
(180°-∠ABC)=90°-
1
2
∠ABC,
∠BCP=
1
2
∠BCE=90°-
1
2
∠ACB
∴∠PBC+∠BCP=180°-
1
2
(∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠BCP=90°+
1
2
∠A,
在△BCP中利用内角和定理得到:
∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180-
1
2
(180°+∠A)=90°-
1
2
∠A,
故成立.
∴说法正确的个数是2个.
故选C.
考点梳理
三角形内角和定理;角平分线的定义.
用角平分线的性质和三角形内角和定理证明,证明时可运用反例.
利用特例,反例可以比较容易的说明一个命题是假命题.
压轴题.
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