试题

（2006·新区模拟）（1）在足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用“吊射”的战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一位球员在离对方球门30米的M处起脚吊射，假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球到达最大高度

32

3

米，如图1，以球门底部为坐标原点建立坐标系，球门PQ的高度为2.44米，试通过计算说明，球是否会进入球门？
（2）在（1）中，若守门员站在距球门2米远处，而守门员跳起后最多能摸到2.75米高处，他能否在空中截住这次吊射？
（3）如图2，在另一次地面进攻中，假如守门员站在离球门中央2米远的A处防守，进攻队员在离球门中央12米的B处，以120千米/小时的球速起脚射门，射向球门的立柱C，球门的宽度CD为7.2米，而守门员防守的最远水平距离S（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为S=10t，问守门员能否挡住这次射门？
（4）在（3）的条件下，∠EAG区域为守门员的截球区域，试估计∠EAG的最大值（精确到0.1°）．

解：（1）设y=a（x-14）²+

32

3

，把（30，0）代入得a=-

1

24

，
∴y=-

1

24

·（x-14）²+

32

3

，（2分）
当x=0时，y=

15

6

=2.5＞2.44，
∴球不会进．（4分）

（2）当x=2时，y=

14

3

＞2.75，
∴守门员不能在空中截住这个球（5分）

（3）∵EA∥CD，∴△BEA∽△BCH，
∴

AE

3.6

=

10

12

∴AE=3．
∴t₁=

AE

10

=

3

10

=0.3（秒），
而BE=

102+32

=

109

V_球=

120×103

3600

=

100

3

（米/秒），
∴t₂=

109

100 3

=

3 109

100

≈0.313（秒），
∵t₁＜t₂，∴能挡住这次射门．（8分）

（4）AG=10t，BG=

100

3

t，作GI∥AE，
∴

BG

BE

=

GI

AE

，∴

100 3 t

109

=

GI

3

，
∴GI=

100t

109

∴sin∠GAI=

GI

AG

=

100t 109

10t

=0.9578，
∴∠GAI=73.3°∴∠EAG=16.7°（10分）
解：（1）设y=a（x-14）²+

32

3

，把（30，0）代入得a=-

1

24

，
∴y=-

1

24

·（x-14）²+

32

3

，（2分）
当x=0时，y=

15

6

=2.5＞2.44，
∴球不会进．（4分）

（2）当x=2时，y=

14

3

＞2.75，
∴守门员不能在空中截住这个球（5分）

（3）∵EA∥CD，∴△BEA∽△BCH，
∴

AE

3.6

=

10

12

∴AE=3．
∴t₁=

AE

10

=

3

10

=0.3（秒），
而BE=

102+32

=

109

V_球=

120×103

3600

=

100

3

（米/秒），
∴t₂=

109

100 3

=

3 109

100

≈0.313（秒），
∵t₁＜t₂，∴能挡住这次射门．（8分）

（4）AG=10t，BG=

100

3

t，作GI∥AE，
∴

BG

BE

=

GI

AE

，∴

100 3 t

109

=

GI

3

，
∴GI=

100t

109

∴sin∠GAI=

GI

AG

=

100t 109

10t

=0.9578，
∴∠GAI=73.3°∴∠EAG=16.7°（10分）