试题

（2004·沈阳）某地有一居民楼，窗户朝南，窗户的高度为h米，此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α，夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β（如图1），小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．小明查阅了有关资料，获得了所在地区∠α和∠β的相应数据：∠α=24°36′，∠β=73°30′，小明又量得窗户的高AB=1.65米，若同时满足下面两个条件，
（1）当太阳光与地面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内；
（2）当太阳光与地面的夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内．
请你借助下面的图形（如图2），帮助小明算一算，遮阳篷BCD中，BC和CD的长各是多少？（精确到0.01米）
以下数据供计算中选用sin24°36′=0.416，cos24°36′=0.909，tan24°36′=0.456，cot24°36′=2.184，sin73°30′=0.959，cos73°30′=0.284，tan73°30′=3.376，cot73°30′=0.296．

解：在Rt△BCD中，tan∠CDB=

BC

CD

，∠CDB=∠α，
∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα，
在Rt△ACD中，tan∠CDA=

AC

CD

，∠CDA=∠β，
∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ，
∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD（tanβ-tanα），
∴CD=

AB

tanβ-tanα

=

1.65

3.376-0.456

≈0.57米，
∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.456≈0.26（米）．
答：BC的长约为0.26米，CD的长约为0.57米．
解：在Rt△BCD中，tan∠CDB=

BC

CD

，∠CDB=∠α，
∴BC=CD·tan∠CDB=CD·tanα，
在Rt△ACD中，tan∠CDA=

AC

CD

，∠CDA=∠β，
∴AC=CD·tan∠CDA=CD·tanβ，
∵AB=AC-BC=CD·tanβ-CD·tanα=CD（tanβ-tanα），
∴CD=

AB

tanβ-tanα

=

1.65

3.376-0.456

≈0.57米，
∴BC=CD·tan∠CDB≈0.57×0.456≈0.26（米）．
答：BC的长约为0.26米，CD的长约为0.57米．