试题

题目:
(2009·广元)A村与B村两地之间有条河,原来从A村往返于B村需要经过桥CD,走折线A一D-C-B或B-C-D-A.在“文明新村”建设中,两村共同在河上又新建了与CD同样长度的桥EF,可直接沿直线AB从A村往返于B村.已知AD=24km.∠A=60°,∠B=45°,桥DC∥AB,通过计算说明,现在从A村到B村可比原来少走多少路程?(结果精确到0.1km,
2
≈1.41
3
≈1.73

青果学院
答案
青果学院解:据题意,∵DC∥AB,
∴四边形ABCD是梯形.
作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H.
在Rt△ADG中,cos∠A=
AG
AD
,即cos60°=
AG
24

∴AG=12.
sin∠A=
DG
AD
,即sin60°=
DG
24

∴DG=12
3

在Rt△CBH中,
∵∠B=45°,
∴BH=CH=DG=12
3

BC=
2
CH=12
6

又∵CD=GH=EF.
∴AD+BC-AG-BH
=24+12
6
一12-12
3

=12
3
(
2
-1
+12
≈12×1.73×(1.41-1)+12
=20.5116    
≈20.5(km)
∴现在从A村到B村可比原来少走的路程约为20.5 km.
青果学院解:据题意,∵DC∥AB,
∴四边形ABCD是梯形.
作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H.
在Rt△ADG中,cos∠A=
AG
AD
,即cos60°=
AG
24

∴AG=12.
sin∠A=
DG
AD
,即sin60°=
DG
24

∴DG=12
3

在Rt△CBH中,
∵∠B=45°,
∴BH=CH=DG=12
3

BC=
2
CH=12
6

又∵CD=GH=EF.
∴AD+BC-AG-BH
=24+12
6
一12-12
3

=12
3
(
2
-1
+12
≈12×1.73×(1.41-1)+12
=20.5116    
≈20.5(km)
∴现在从A村到B村可比原来少走的路程约为20.5 km.
考点梳理
解直角三角形的应用.
分别构造直角三角形将线段AD、DC、CB求出来,然后与线段AB的长相比较即能得到答案.
本题应用了解直角三角形的知识,解题时根据实际问题构造出直角三角形,这往往是解决此类题目最关键的地方.
应用题.
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