试题

如图（1），一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．如图（2），当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．

解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，∠α=60°．∴∠OAB=30°，
又AB=4（米），∴OB=

1

2

AB=2（米），OA=AB×sin60°=4×

3

2

=2

3

（米）．

（2）∵点P和点P′分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点，∴PA=PO，P′A′=P′O，
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．
∵∠PAO=30°，∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′×cos45°=4×

2

2

=2

2

．
∴AA′=OA-A′O=(2

3

-2

2

)米．
解：（1）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，∠α=60°．∴∠OAB=30°，
又AB=4（米），∴OB=

1

2

AB=2（米），OA=AB×sin60°=4×

3

2

=2

3

（米）．

（2）∵点P和点P′分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点，∴PA=PO，P′A′=P′O，
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．
∵∠PAO=30°，∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′×cos45°=4×

2

2

=2

2

．
∴AA′=OA-A′O=(2

3

-2

2

)米．