试题

题目：
某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A、B两点间的距离时用了以下三种测量方法，如图1、2、3所示．图中a，b，c表示长度，β表示角度．
青果学院
（1）请你求出AB的长度（用含有a，b，c，β字母的式子表示）．
①AB=
b2-a2
b2-a2
；②AB=
a·tanβ
a·tanβ
；③AB=
ac
b
ac
b
．
（2）请再给出一种测量池塘边上A、B两点间距离的方案，要求在图4中画出示意图，说明要测量的数据，再求出表示线段AB的表示式．
答案
b2-a2

a·tanβ

ac
b

解：（1）①由勾股定理得，AB=
b2-a2
，
②∵tanβ=
a
AB
，∴AB=a·tanβ，青果学院
③由图可知△EDC∽△ABC，
∴DE：AB=CD：BC，
即c：AB=b：a，∴
ac
b
；
（2）如图4所示：四边形ABCD是矩形，则测量CD的长度即为AB的长，AB=CD=b．
考点梳理
解直角三角形的应用；勾股定理的应用；相似三角形的应用．
（1）①由图可知AB、AC、BC正好构成直角三角形，故可直接用勾股定理解答；②由图可知AB、AC、BC正好构成直角三角形，β为已知角，故可直接用锐角三角函数的定义解答；③由图可知△EDC∽△ABC，故可用相似三角形的相似比解答；
（2）构造矩形利用矩形的性质即可求出AB的长．
本题考查正确运用勾股定理．相似三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
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