试题

题目：
2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮B到海岸最近的点C的距离BC=20km，∠BAC=22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案
（如图1）：
青果学院
①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B．
已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h．
（sin22°37′=
5
13
，cos22°37′=
12
13
，tan22°37′=
5
12
）
（1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？
（2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC=
2
3
（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）．
①利用现有数据，根据cos∠BPC=
2
3
，计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的总时间．
②在线段AC上任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
答案
解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=20km，∠BAC=22°37′，
∴AB=
BC
sin∠BAC
=
20
5
13
=52km，AC=ABcos∠BAC=52×
12
13
=48km，
方案①需要用时：
AB
60km/h
=
52
60
小时=52分钟，
方案②需要用时：
AC
90
+
BC
60
=
48
90
+
20
60
小时=52分钟，
方案③需要用时：
33
90
+
(48-33)2+202
60
=47分钟，
∴方案③较好；
（2）①∵cos∠BPC=
2
3
，
设PC=2x，BP=3x，则BC=
5x2
=20，
解得：x=4
5
，
即可得PC=8
5
km，BP=12
5
km，
∴AP=AC-PC=（48-8
5
）km，
故可得所用时间为：
48-8
5
90
+
12
5
60
=
10
5
+48
90
=
5
5
+24
45
小时；
②
青果学院
点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，用时tM=
AM
90
+
BM
60
，
汽车开到P放冲锋舟下水，用时tP=
AP
90
+
BP
60
，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=
2
3
，
∴PH=
2
3
MP，
又∵冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h，
∴汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间，
∴tP=
AP
90
+
BP
60
=
AM
90
+
BH
60
，
∵BM＞BH，
∴tM＞tP；
点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tP．
综上可得汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=20km，∠BAC=22°37′，
∴AB=
BC
sin∠BAC
=
20
5
13
=52km，AC=ABcos∠BAC=52×
12
13
=48km，
方案①需要用时：
AB
60km/h
=
52
60
小时=52分钟，
方案②需要用时：
AC
90
+
BC
60
=
48
90
+
20
60
小时=52分钟，
方案③需要用时：
33
90
+
(48-33)2+202
60
=47分钟，
∴方案③较好；
（2）①∵cos∠BPC=
2
3
，
设PC=2x，BP=3x，则BC=
5x2
=20，
解得：x=4
5
，
即可得PC=8
5
km，BP=12
5
km，
∴AP=AC-PC=（48-8
5
）km，
故可得所用时间为：
48-8
5
90
+
12
5
60
=
10
5
+48
90
=
5
5
+24
45
小时；
②
青果学院
点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，用时tM=
AM
90
+
BM
60
，
汽车开到P放冲锋舟下水，用时tP=
AP
90
+
BP
60
，
延长BP过M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=
2
3
，
∴PH=
2
3
MP，
又∵冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h，
∴汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间，
∴tP=
AP
90
+
BP
60
=
AM
90
+
BH
60
，
∵BM＞BH，
∴tM＞tP；
点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tP．
综上可得汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长．
考点梳理
解直角三角形的应用．
（1）解直角三角形ABC，可得出AB、AC的长度，然后分别求出三种方案需要的时间即可作出比较；
（2）①在Rt△BPC中求出BP、PC的长度，继而得出AP的长度，这样即可求出汽车行AP加上冲锋舟行BP的总时间；
     ②分两种情况讨论，1）当点M在AP上时，2）当点M在PC上时，过点M作MH⊥BP于点H，表示出tM、tP，根据cos∠BPC=
2
3
，可得PH=
2
3
MP，继而能判断出汽车行MP的时间=冲锋舟行
       PH的时间，转换后比较即可得出结论．
本题考查了解直角三角形的应用，及优化方案的选择，难点在最后一问，注意判断出汽车行MP的时间=冲锋舟行PH的时间是突破口，难度较大．
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