试题

如图1，一架4米长的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子AB与地面OM的倾斜角α为60°．
（1）求AO与BO的长； 
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，如图2，设A点下滑至C点，B点向右滑行至D点．若AC：BD=2：3，试求梯子顶端A沿NO
下滑多少米； 
（3）若梯子顶端A沿NO下滑，如图3，设A点下滑至C点，B点向右滑行至D点，梯子AB的中点P，也随之运动到点Q，若∠POQ=15°，试求AC的长．

解：（1）Rt△AOB中，∠AOB=90°α=60°∠OAB=30°
AB=4米  OB=2米  AO=2

3

米 …（2分）

（2）设AC=2x（米） BD=3x（米）CD=4米
Rt△COD中(2

3

-2x)2+(2+3x)2=42…（2分）
解得 x=

8 3 -12

13

，x=0（舍去）AC=2x=

16 3 -24

13

（米）…（3分）
梯子的顶端沿NO下滑

16 3 -24

13

米…（1分）

（3）∵P、Q分别是Rt△AOB和Rt△COD斜边上的中点
∴PO=PA，QO=QC
∴∠PAO=∠AOP∠QCO=∠COQ…（2分）
∴∠QCO-∠PAO=∠POQ=15°
∵∠PAO=30°
∴∠QCO=45°…（2分）
CO=CD×cos45°=4×

2

2

=2

2

，
 AC=AO-CO=2

3

-2

2

（米）．
解：（1）Rt△AOB中，∠AOB=90°α=60°∠OAB=30°
AB=4米  OB=2米  AO=2

3

米 …（2分）

（2）设AC=2x（米） BD=3x（米）CD=4米
Rt△COD中(2

3

-2x)2+(2+3x)2=42…（2分）
解得 x=

8 3 -12

13

，x=0（舍去）AC=2x=

16 3 -24

13

（米）…（3分）
梯子的顶端沿NO下滑

16 3 -24

13

米…（1分）

（3）∵P、Q分别是Rt△AOB和Rt△COD斜边上的中点
∴PO=PA，QO=QC
∴∠PAO=∠AOP∠QCO=∠COQ…（2分）
∴∠QCO-∠PAO=∠POQ=15°
∵∠PAO=30°
∴∠QCO=45°…（2分）
CO=CD×cos45°=4×

2

2

=2

2

，
 AC=AO-CO=2

3

-2

2

（米）．