题目:

(2013·梧州)海上有一小岛,为了测量小岛两端A、B的距离,测量人员设计了一种测量方法,如图所示,已知B点是CD的中点,E是BA延长线上的一点,测得AE=8.3海里,DE=30海里,且DE⊥EC,cos∠D=
.
(1)求小岛两端A、B的距离;
(2)过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,求sin∠BCF的值.
答案
解:(1)在Rt△CED中,∠CED=90°,DE=30海里,
∴cos∠D=
=,
∴CE=40(海里),CD=50(海里).
∵B点是CD的中点,
∴BE=
CD=25(海里)
∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7(海里).
答:小岛两端A、B的距离为16.7海里.
(2)设BF=x海里.
在Rt△CFB中,∠CFB=90°,
∴CF
2=CB
2-BF
2=25
2-x
2=625-x
2.
在Rt△CFE中,∠CFE=90°,
∴CF
2+EF
2=CE
2,即625-x
2+(25+x)
2=1600.
解得x=7.
∴sin∠BCF=
=.
解:(1)在Rt△CED中,∠CED=90°,DE=30海里,
∴cos∠D=
=,
∴CE=40(海里),CD=50(海里).
∵B点是CD的中点,
∴BE=
CD=25(海里)
∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7(海里).
答:小岛两端A、B的距离为16.7海里.
(2)设BF=x海里.
在Rt△CFB中,∠CFB=90°,
∴CF
2=CB
2-BF
2=25
2-x
2=625-x
2.
在Rt△CFE中,∠CFE=90°,
∴CF
2+EF
2=CE
2,即625-x
2+(25+x)
2=1600.
解得x=7.
∴sin∠BCF=
=.