试题

如图，CD，BE是△ABC的角平分线，∠A=60°，BD=2CE=2，则△ABC的周长是．

解：过B作BQ∥AC交CD的延长线于Q，在BC上截取BF=BD=2，
∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠SBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB=∠ACD，
∴∠SBC+∠DCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB），
=

1

2

（180°-∠A）=60°，
∴∠BSC=180°-（∠SBC+∠SCB）=120°，
∴∠DSE=∠BSC=120°，
∴∠ADS+∠AES=360°-（∠A+∠DSE）=180°，
∵BD=BF，∠ABE=∠CBE，SB=SB，
∴△BDS≌△BFS，
∴∠BDS=∠BFS，
∵∠ADS+∠BDS=180°，∠BFS+∠CFS=180°，∠AES+∠CES=180°，
∴∠CFS=∠ESC，
∵∠ACD=∠BCD，CS=CS，
∴△CES≌△CFS，
∴CF=CE=1，
∴BC=1+2=3，
∵BQ∥AC，
∴∠Q=∠ACD=BCD，
∴BC=BQ=3，
∴

AC

BQ

=

AD

DB

，

AC

AD

=

BQ

DB

=

3

2

，
设AC=3x，AD=2x，
∵BC²=AB²+AC²-2AB·ACcosA，
∴3²=（2+2x）²+（3x）²-2（2+2x）·3xcos60°，
∵x＞0，
解得：x=

5

7

，
∴AC=

15

7

，AB=2+

10

7

=

24

7

，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=

60

7

，
答：△ABC的周长是

60

7

．