试题

题目：
（2008·泰安）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=
1
2
mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S=
1
2
mnsinθ
1
2
mnsinθ
．（用含m、n、θ的式子表示）青果学院
答案
1
2
mnsinθ

解：如图，设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，
所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=
1
2
m·OC+
1
2
m·OA=
1
2
mn；青果学院
在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
由于AC、BD夹角为θ，
所以AE=OA·sinθ，CF=OC·sinθ，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
=
1
2
BD·AE+
1
2
BD·CF
=
1
2
BD·（AE+CF）=
1
2
mnsinθ．
故填空答案：
1
2
mnsinθ．
考点梳理
解直角三角形的应用．
设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，由此可以求出四边形的面积；
在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA·sinθ，CF=OC·sinθ，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=
1
2
BD·AE+
1
2
BD·CF=
1
2
BD·（AE+CF ），由此也可以求出面积．
此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．
压轴题．
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