试题

我市新农村建设中，对乡村道路进行改造，车溪乡公路有一段斜坡长为20米，坡角∠CBM=45°，坡底路面AB与坡顶路面CD平行，如图①．
（1）求坡高CM（结果保留根号）；
（2）为方便通行，现准备把坡角降为30°，为节约成本，计划把原斜坡BC上的半部分挖去，填到原斜坡BC的下半部分，如图②，点O为原斜坡BC的中点，EF为新斜坡，求原坡顶需要挖掉的长度（即CF的长度，结果精确到0.1米）（参考数据：（

2

≈1.414，

3

≈1.732，

6

≈2.499；可以用科学记算器）

解：（1）∵CM⊥BM，
∴∠CMB=90°．
∵∠CBM=45°，
∴∠BCM=45°，
∴∠BMC=∠BCM，
∴BM=CM．
在Rt△BMC中，由勾股定理，得
BC²=CM²+BM²，
∴400=2CM²，
∴CM=10

2

．
答：CM=10

2

；

（2）作FN⊥EM于点N，
∴∠FNB=90°．
∵AB∥CD，
∴∠EBO=∠FCO，∠BEO=∠CFO，∠FCM=∠BMC=90°，
∴四边形CMNF为矩形，
∴CM=FN=10

2

，
∵∠FEN=30°，
∴EF=2FN=20

2

．
在Rt△EFN中，由勾股定理，得
EN=10

6

．
∴EB=10

6

-10

2

∵点O为BC的中点，
∴BO=CO．
在△EBO和△FCO中

∠EBO=∠FCO ∠BEO=∠CFO BO=CO

，
∴△EBO≌△FCO（AAS），
∴BE=CF，
∴CF=10×2.499-10×1.414≈10.9米．
答：原坡顶需要挖掉的长度CF为10.9米．

解：（1）∵CM⊥BM，
∴∠CMB=90°．
∵∠CBM=45°，
∴∠BCM=45°，
∴∠BMC=∠BCM，
∴BM=CM．
在Rt△BMC中，由勾股定理，得
BC²=CM²+BM²，
∴400=2CM²，
∴CM=10

2

．
答：CM=10

2

；

（2）作FN⊥EM于点N，
∴∠FNB=90°．
∵AB∥CD，
∴∠EBO=∠FCO，∠BEO=∠CFO，∠FCM=∠BMC=90°，
∴四边形CMNF为矩形，
∴CM=FN=10

2

，
∵∠FEN=30°，
∴EF=2FN=20

2

．
在Rt△EFN中，由勾股定理，得
EN=10

6

．
∴EB=10

6

-10

2

∵点O为BC的中点，
∴BO=CO．
在△EBO和△FCO中

∠EBO=∠FCO ∠BEO=∠CFO BO=CO

，
∴△EBO≌△FCO（AAS），
∴BE=CF，
∴CF=10×2.499-10×1.414≈10.9米．
答：原坡顶需要挖掉的长度CF为10.9米．