试题

题目：
青果学院如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC、BD交于点P，且AB=BD，AP=4PC=4，则cos∠ACB的值是
3
3
3
3
．
答案
3
3

青果学院解：作BE⊥AD于E，交AC于O，则BE∥CD，
由AB=BD得E是AD的中点，因此OE是△ACD的一条中位线，从而O是AC的中点，
以O为圆心，OA为半径作圆，则由∠ABC=∠ADC=90°可知该圆经过A、B、C、D四点，
易知 AP=4，PC=1，AC=AP+PC=5，
因此，OA=OC=2.5．OP=OC-PC=1.5，
由BE∥CD得，BP：PD=OP：PC=1.5，
因此BP=1.5PD，从而 AB=BD=BP+PD=2.5PD，
由相交弦定理得 BP·PD=AP·PC=4，
即 1.5PD2=4，
因此 PD2=
8
3
，
从而 AB2=（2.5PD）2=6.25PD2=
50
3
，
由勾股定理得
BC2=AC2-AB2=52-
50
3
=
25
3
，
因此 BC=
5
3
3
，
∴cos∠ACB=BC：AC=
3
3
．
考点梳理
直角三角形的性质；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义．
作BE⊥AD于E，交AC于O，则BE∥CD．可证明A、B、C、D四点共圆，根据相交弦定理得出PD，则计算出AB，由勾股定理得出BC，从而得出答案．
本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及四点共圆等知识点，综合性较强．
压轴题．
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