试题

题目：
青果学院（2013·成都一模）如图，P为圆外一点，PA切圆于A，PA=8，直线PCB交圆于C、B，且PC=4，连接AB、AC，∠ABC=α，∠ACB=β，则
sinα
sinβ
=
1
2
1
2
．
答案
1
2

青果学院解：作AD⊥BC于D．则sinα=
AD
AB
，sinβ=
AD
AC
，
∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，
∴△ACP∽△BAP，∴
AC
AB
=
PC
PA
，又PA=8，PC=4，
则
sinα
sinβ
=
AD
AB
÷
AD
AC
=
AC
AB
=
PC
PA
=
1
2
；
故答案是：
1
2
．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
过A作AD⊥BC于D，则得到三角形ABD和ACD为直角三角形，然后由角P为公共角，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到角CAP等于角B，由两组对应角相等得到两三角形相似，得到对应边成比例，根据锐角三角函数定义表示出sinα和sinβ的比值，将已知的PA和PC的长代入即可求出值．
此题切线的性质，三角形相似的判别与性质，以及锐角三角函数的定义．作出AD垂直于BC构造两直角三角形是解本题的关键．解答此类题的方法是仔细审题，结合图形，找到突破点．
综合题；压轴题．
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