试题

（2009·湘潭）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，
（1）求证：△ACE∽△CBE；
（2）若AB=8，设OE=x（0＜x＜4），CE²=y，请求出y关于x的函数解析式；
（3）探究：当x为何值时，tan∠D=

3

3

．

（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°．
又CD⊥AB，∴∠A+∠ACE=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；

（2）解：∵△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

EB

，
即CE²=AE·BE=（AO+OE）（OB-OE），
∴y=（4+x）（4-x）=16-x²；

（3）解：∵tan∠D=

3

3

，即tan∠A=

3

3

，
∴

CE

AE

=

3

3

．
则

CE2

AE2

=

1

3

，
即

16-x2

(4+x)2

=

1

3

．
解得x=2或x=-4（舍去）．
故当x=2时，tan∠D=

3

3

．
（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCE=90°．
又CD⊥AB，∴∠A+∠ACE=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴Rt△ACE∽Rt△CBE；

（2）解：∵△ACE∽△CBE，
∴

AE

CE

=

CE

EB

，
即CE²=AE·BE=（AO+OE）（OB-OE），
∴y=（4+x）（4-x）=16-x²；

（3）解：∵tan∠D=

3

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，即tan∠A=

3

3

，
∴

CE

AE

=

3

3

．
则

CE2

AE2

=

1

3

，
即

16-x2

(4+x)2

=

1

3

．
解得x=2或x=-4（舍去）．
故当x=2时，tan∠D=

3

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