试题

（2011·雅安）如图，在·ABCD中，E，F分别是BC，AD中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为

3

，求证：四边形AECF是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，
∵E，F分别是BC，AD中点，
DF=

1

2

DA，BE=

1

2

CB，
∴DF=BE，
∵AB=DC，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF．

（2）解法一、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为

3

，
∴BE=AB=2，

1

2

×EB×AH=

3

，
∴AH=

3

，
∴sinB=

3

2

，
∴∠B=60°，
∴AB=BE=AE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形．
解法二、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为

3

，
∴BE=AB=2，

1

2

×EB×AH=

3

，
∴AH=

3

，
∴由勾股定理得：BH=1，
HE=2-1=1=BH，
∵AH⊥BE，
∴AB=AE=BE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，
∵E，F分别是BC，AD中点，
DF=

1

2

DA，BE=

1

2

CB，
∴DF=BE，
∵AB=DC，∠B=∠D，
∴△ABE≌△CDF．

（2）解法一、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为

3

，
∴BE=AB=2，

1

2

×EB×AH=

3

，
∴AH=

3

，
∴sinB=

3

2

，
∴∠B=60°，
∴AB=BE=AE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形．
解法二、过A作AH⊥BC于H，
∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为

3

，
∴BE=AB=2，

1

2

×EB×AH=

3

，
∴AH=

3

，
∴由勾股定理得：BH=1，
HE=2-1=1=BH，
∵AH⊥BE，
∴AB=AE=BE，
∵E，F分别是BC，AD中点，
∴AF=CE=AE，
∵△ABE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF是菱形